Diseño a exión de vigas de hormigón simplemente
apoyadas utilizando lógica difusa
Santamaría J. L.
*, **
; Morales L.
*
∗Universidad Central del Ecuador, Facultad de Ingeniería, Ciencias
Físicas y Matemática, Carrera de Ingeniería Civil, Quito, Ecuador
**Autor correspondiente
e-mail: jsantamaria@uce.edu.ec
Información del artículo
Recibido: julio 2018
aceptado:septiembre 2018
Resumen
Las vigas de hormigón armado son elementos estructurales esenciales, muy utilizadas en toda infraes-
tructura por lo que su diseño se hace recurrente. Diferentes códigos de construcción son empleados para
su diseño, mismos que utilizan ecuaciones o ábacos para calcular el acero de refuerzo. El presente estudio
muestra una metodología alternativa para determinar el acero de refuerzo de vigas de hormigón armado,
simplemente apoyadas, sometidas a cargas uniformemente distribuidas, a través del uso de la teoría de
lógica difusa. Un Sistema de Inferencia Lógico (SIL) tipo Sugeno fue desarrollado a partir de datos pro-
venientes del diseño realizado con el código de construcción ACI 318 -14 de los Estados Unidos y el uso
del método de agrupamiento sustractivo de datos y ANFIS. Los resultados indican que el modelo difuso
tipo Sugeno es capaz de predecir nuevos datos de una manera adecuada (R
2
=95.5%) y que podría ser
utilizado para el diseño de vigas por cuanto el área del acero de refuerzo colocado efectivamente en una
viga no necesita ser exactamente igual al área de acero calculada. Además, el método propuesto es muy
exible y puede ser extendido al diseño de otros elementos estructurales siempre y cuando se disponga
de datos reales o experimentales para realizar la modelación difusa.
Palabras clave: diseño de vigas de hormigón, agrupamiento sustractivo de datos, ANFIS, lógica difusa
Abstract
Concrete reinforced beams are essential structural elements that are commonly used in every in-
frastructure, which makes their design to become recurrent. Several construction building codes
are utilized for designing beams using equations or correlations to compute the area of steel need-
ed. The present study illustrates an alternative framework in order to determine the area of steel
for reinforced simple supported concrete beams, subjected to uniform loads through the use of
fuzzy set theory. A Sugeno type Fuzzy Inference System (SIL) was developed based on actual data
resulting from using the ACI 318-14, a United States building code, and the use of subtractive clus-
tering method and ANFIS. The results indicate that the Sugeno type fuzzy model is able to predict
new data very well (R
2
=95.5%), and that it could actually be used for designing concrete beams
since the actual area of steel placed in the beam is not necessarily exactly the same as the calculated
area. Furthermore, the proposed methodology could be extended to the design of other structural
elements as long as real or experimental data are available for performing the fuzzy modeling.
Keywords: Concrete beam design, concrete, subtractive clustering method, ANFIS, fuzzy logic.
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Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
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1. Introducción
las vigas de hormigón armado son elementos
estructurales muy utilizados en la construcción
de proyectos de ingeniería ya que comprenden
gran parte de toda infraestructura física, espe-
cialmente aquella destinada a brindar servicios
de vivienda. Razón por la cual se requiere que
su diseño se lo lleve a cabo de una manera muy
frecuente. Una viga se la puede denir como un
elemento estructural que soporta principalmente
cargas o fuerzas que actúan perpendicular a su
eje longitudinal, soportando esfuerzos de ex-
ión generados por momentos actuantes en sus
extremos. Las vigas al ser parte de una estructu-
ra son de vital importancia en el funcionamien-
to deseado de la misma y es por esta razón que
fueron escogidas en el presente estudio.
Diferentes tipos de vigas pueden ser utilizadas en
la construcción tomando en cuenta su sección
transversal (rectangulares, sección “T” o “I”), tipo
de apoyo (en cantiléver, simplemente apoyadas
o empotradas) y el tipo de carga actuante sobre
ellas (carga puntual o uniformemente distribui-
da). Para efectos de ilustrar el procedimiento de
diseño de vigas de hormigón utilizando lógica
difusa, se escogieron vigas rectangulares simple-
mente apoyadas que soportan cargas distribuidas
triangulares, rectangulares y trapezoidales. Sin
embargo, la metodología empleada en el presente
estudio es aplicable para cualquier tipo de ele-
mento estructural que se considere.
Para realizar el diseño estructural de un elemento
de hormigón armado se utilizan procedimientos
o normativas, llamados códigos de construcción,
que han sido previamente establecidos y acepta-
dos y son de aplicación y uso obligatorio dentro
de una determinada zona geográca. Por ejemp-
lo, en el Ecuador se utiliza la Norma Ecuatoriana
de Construcción (NEC), mismo que está basado
en el código de los Estados Unidos (ACI 318 -14).
Cuando se calcula el área de acero de refuerzo
que se debe colocar en una sección transver-
sal de un elemento estructural, en este caso una
viga rectangular, se obtienen resultados “exactos”,
con varias cifras decimales. Todo esto en razón
de que dichos resultados provienen de la evalu-
ación de ecuaciones formuladas para el efecto.
Sin embargo, en la práctica, dichos resultados
obtenidos del diseño no se los puede colocar en
su cantidad exacta ya que dichas áreas de ace-
ro de refuerzo calculadas deben ser convertidas
a su equivalente de área de varillas comerciales
(disponibles en el mercado). Dicha área efectiva
de acero que será colocada en la viga es un valor
aproximado del área calculada. De hecho, el área
de acero seleccionada es un valor cercano al cal-
culado y, preferiblemente, estará por encima de
dicho valor (mayor al calculado). Lo que signi-
ca que la cuantía de acero colocada no es precisa
sino aproximada.
La teoría de lógica difusa es una herramienta
idónea cuando se habla de valores aproximados
y no precisos. Si se considera el uso de lógica di-
fusa en problemas de ingeniería se debe tomar
en consideración la tolerancia a la imprecisión
[1]. Existen muchos casos en los que ser preci-
so no inuye determinantemente en el resulta-
do. De hecho, estar cercano al valor calculado es
usualmente suciente para conseguir el objetivo
propuesto. Además, se hace necesario tomar en
consideración que los códigos de construcción
incluyen los denominados factores de seguridad
en sus cálculos y resultados; lo cual proporciona
un rango de seguridad en los diseños obtenidos.
En consecuencia, el uso de la teoría de lógica di-
fusa no inuiría signicativamente en los resul-
tados nales por cuanto no se usan los valores
exactos de diseño, sino aproximados.
El presente estudio tiene por objeto presentar una
metodología alternativa para estimar la cuantía
de acero de refuerzo () en vigas de hormigón rect-
angulares simplemente armadas, simplemente
apoyadas, y sometidas a cargas distribuidas de
tipo triangular, rectangular y trapezoidal a través
de la utilización de la teoría de lógica difusa. Un
modelo de inferencia lógico capaz de predecir
cantidades de acero de refuerzo para vigas fue de-
sarrollado utilizando el método automático para
sistemas de inferencia lógicos conocido como:
Adaptive Neuro Fuzzy Inference Systems (AN-
FIS) según sus siglas iniciales del idioma inglés.
Dicho procedimiento emplea datos reales sean
estos calculados o experimentales del tipo entra-
da – salida (I/O), conocidos como conocimiento
Revista INGENIO N.º 1 vol. 2 (2019)
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previo para crear funciones de membresía (FMs)
y reglas difusas del tipo condicional (If – then)
que permiten estimar o predecir nuevos datos.
1.1. Teoría de lógica difusa
La teoría de lógica difusa es una teoría relativa-
mente nueva que fue desarrollada por Zadeh en
[2] con el n de explicar cómo la imprecisión o
incertidumbre puede ser manejada en la solu-
ción de problemas. De hecho, lógica difusa es
una poderosa herramienta que puede ser utiliza-
da para entender sistemas complejos donde no
se dispone de funciones matemáticas [1]. Lógi-
ca difusa es una herramienta muy efectiva que
permite relacionar datos de entrada con datos de
salida y brindar información que permite ganar
conocimiento del sistema que se está estudiando.
Esta teoría emplea Sistemas de Inferencia Lógi-
cos (SILs) denominados Fuzzy Inference Systems
(FIS) por sus siglas en idioma inglés, los cuales
incorporan variables lingüísticas relacionadas a
través del uso de las denominadas reglas difusas
del tipo antecedente – consecuente (If – then)
comúnmente utilizadas por las personas.
1.2 Sistema de inferencia lógico (SIL)
Los SILs o también llamados modelos difusos,
son conocidos como funciones universales no
lineales aproximadas capaces de predecir o es-
timar nuevos datos basados en conocimiento
previo [1]. Un SIL está formado por dos partes
fundamentales: 1) Conocimiento base, y 2) Me-
canismo de inferencia (ver Fig. 1) y son capaces
de estimar un resultado mediante el uso de algo-
ritmos de razonamiento aproximado. El cono-
cimiento base comprende el conocimiento previo
que incluye datos de entrada y salida (I/O); así
como también, la información disponible resul-
tante de la observación del sistema y las reglas
difusas que relacionan las variables consideradas.
Con respecto al mecanismo de inferencia lógico,
los métodos más utilizados son los de Mamdani
[3,4], Sugeno [5] y Tsukamoto [6]. De los men-
cionados procedimientos, solamente los métodos
de Sugeno y Tsukamoto producen como resulta-
dos valores no difusos (valores discretos).
Figura 1. Funcionamiento del Sistema de Inferencia Lógico (SIL).
El razonamiento lógico que es realizado por los
SILs se lo lleva a cabo de la siguiente manera se-
gún [7]. Primeramente, se asigna los llamados
grados de membresía a los valores o datos de en-
trada mediante la utilización de las funciones de
membresía (FMs) y a este proceso se lo conoce
como fusicación. Luego se combinan los grados
de membresía a través de una operación difusa
(T-norm) con el n de obtener los pesos respecti-
vos llamados “ring strengths” en idioma inglés.
Después, se genera los valores consecuentes co-
rrespondientes a cada regla difusa basados en los
pesos calculados, para nalmente compilar todos
los consecuentes y producir un valor discreto.
1.3 Funciones de membresía (FMs) y reglas difusas
(If – then)
Una FM se la puede denir como una función
matemática que describe a un conjunto difuso y
se la utiliza para asignar grados de membresía a
un determinado elemento. Las formas de las FMs
pueden ser variadas: triangular, trapezoidal o
gaussiana entre otras; sin embargo, la característi-
ca de dichas curvas es que su altura sea la unidad
como se indica en la Fig. 2. Las reglas difusas son
del tipo condicional de la forma If – then , donde e
son los nombres de los conjuntos difusos, mismos
que son caracterizados por sus respectivas FMs. Si
utilizamos el mecanismo de inferencia lógico Su-
geno [5], se tiene conjuntos difusos solo en la pre-
misa () de la regla difusa del tipo If – then , mien-
tras que la parte consecuente () está descrita por
una función matemática no difusa. Por ejemplo,
la expresión “si el esfuerzo de compresión del hor-
migón es alto (), entonces la relación agua–cemen-
to es W/C ()”. En este caso se utiliza un conjunto
difuso que corresponde al esfuerzo de compresión
(variable), donde se puede observar cómo se in-
Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
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cluye el uso de términos lingüísticos comúnmente
usados por las personas como “alto”, el cual es car-
acterizado por una función , que es una FM. En lo
que respecta al valor consecuente (W/C), este es
un valor discreto.
Figura 2. Función de membresía (FM) tipo gaussiana.
2. Metodología
La Fig. 3 ilustra la metodología que será aplicada
a n de estimar el acero de refuerzo en vigas sim-
plemente apoyadas, de sección rectangular, que
trabajan a exión y que están sometidas a cargas
uniformemente distribuidas.
Figura 3. Metodología de la investigación.
2.1 Datos (I/O)
Para el cálculo del acero de refuerzo () se utili-
zaron vigas de sección rectangular, comúnmente
utilizadas y diseñadas en el medio, cuyas caracte-
rísticas son: base () entre 25 cm y 40 cm; altura ()
entre 40 cm y 70 cm; carga distribuida () entre 3.5
T/m a 13.5 T/m de tipo rectangular, trapezoidal
y triangular, y luces () entre 3 m y 10 m, según se
observa en la Fig. 4. El valor de corresponde a los
extremos de la carga trapezoidal medida desde el
apoyo. El código empleado para el diseño de las
vigas de hormigón fue el Código de Construcción
ACI 318-14 de los Estados Unidos y los paráme-
tros de diseño se encuentran compilados en la Ta-
bla 1. Un total de 105 vigas fueron diseñadas para
generar datos del tipo de entrada – salida (I/O),
de los cuales se escogió los datos para entrenar
(TR) y chequear (CH) el modelo ANFIS (ver Ta-
bla 2). 75 y 30 las de datos fueron escogidas al
azar para entrenar y chequear el referido modelo
difuso que será utilizado para generar un sistema
de inferencia lógico (SIL) tipo Sugeno capaz de
estimar el necesario para resistir las condiciones
prestablecidas de diseño.
Viga Tipo 1
Viga Tipo 2
Viga Tipo 3
Figura 4. Esquema de vigas sometidas a cargas distribuidas.
Tabla 1. Parámetros de diseño
Revista INGENIO N.º 1 vol. 2 (2019)
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Tabla 2. Datos utilizados para la modelación difusa
N
o
Viga
Tipo
f ’c b h luz a qu As
Dato
(Kg/
cm
2
)
(m) (m) (m) (m) (Kg/m) (cm
2
)
1 1 210 25 40 4 0.0 4 6.88 TR
2 1 210 25 45 5 0.0 4.5 11.00 TR
3 1 210 30 45 6 0.0 4 14.26 TR
4 1 210 30 55 7 0.0 4.5 17.28 CH
5 1 210 30 60 8 0.0 4 18.05 TR
6 1 210 25 40 4 0.0 5 8.87 CH
7 1 210 30 45 5 0.0 5.5 13.50 TR
8 1 240 25 40 4 0.0 4 6.78 TR
9 1 240 25 40 3 0.0 5 4.64 TR
10 1 240 30 45 5 0.0 6 14.60 CH
11 1 240 30 55 6 0.0 7 19.75 TR
12 1 240 35 60 7 0.0 8 28.42 TR
13 1 240 30 45 4 0.0 9 13.92 TR
14 1 240 35 55 5 0.0 11 21.29 CH
15 1 280 25 40 4 0.0 4 6.69 TR
16 1 280 35 55 6 0.0 10 28.48 CH
17 1 280 35 60 7 0.0 8 27.56 TR
18 1 280 30 55 8 0.0 4 19.59 TR
19 1 280 35 65 9 0.0 6 31.49 TR
20 1 280 40 70 8 0.0 10 38.29 CH
21 1 280 25 45 7 0.0 3.5 17.24 TR
22 1 300 25 40 4 0.0 4 6.66 TR
23 1 300 30 50 6 0.0 6.5 20.12 TR
24 1 300 25 40 5 0.0 5 14.09 CH
25 1 300 35 60 8 0.0 7.5 34.64 TR
26 1 300 25 45 4.5 0.0 8 15.87 CH
27 1 300 30 50 7 0.0 5 21.23 TR
28 1 300 30 55 5.5 0.0 9.5 22.15 TR
29 1 350 25 40 4 0.0 4 6.59 CH
30 1 350 30 50 5 0.0 10 21.20 TR
31 1 350 30 45 6 0.0 6 20.98 TR
32 1 350 30 55 7 0.0 8 31.12 TR
33 1 350 35 65 8 0.0 9 37.18 CH
34 1 350 40 65 9 0.0 8.5 44.80 TR
35 1 350 30 55 5.5 0.0 12 28.38 TR
36 2 210 25 40 4.5 1.1 4.5 9.33 TR
37 2 210 25 45 5.5 1.4 4 10.82 CH
38 2 210 35 60 6.5 1.6 8 21.99 TR
39 2 210 35 60 7.5 1.9 6.5 24.17 TR
40 2 210 35 60 8.5 2.1 4.5 21.01 CH
41 2 210 25 40 3.5 0.9 6 7.29 TR
42 2 210 30 50 5 1.3 7 13.75 TR
43 2 240 25 40 4.5 1.1 5 10.32 CH
44 2 240 25 40 3.5 0.9 5.5 6.52 TR
45 2 240 30 50 5.5 1.4 7 16.79 TR
46 2 240 35 60 6.5 1.6 8.5 23.07 TR
47 2 240 40 65 7.5 1.9 9 29.93 CH
48 2 240 25 45 3.5 0.9 9.5 10.13 TR
49 2 240 30 55 4.5 1.1 12 17.08 TR
50 2 280 25 45 5 1.3 5.5 11.99 TR
51 2 280 30 55 5.5 1.4 11 24.07 CH
52 2 280 35 55 6.5 1.6 8.5 25.60 TR
53 2 280 30 55 7.5 1.9 5 19.75 TR
54 2 280 35 65 8.5 2.1 7.5 32.51 CH
55 2 280 35 55 6 1.5 11 28.77 TR
56 2 280 25 40 3.5 0.9 4 4.59 TR
57 2 300 25 40 4 1.0 6 9.42 TR
58 2 300 30 45 5.5 1.4 7 19.01 CH
59 2 300 30 45 6.5 1.6 5 18.96 CH
60 2 300 35 60 7.5 1.9 8 28.91 TR
61 2 300 30 45 5 1.3 9 20.44 TR
62 2 300 30 50 6.5 1.6 6.5 21.93 TR
63 2 300 35 55 9 2.3 5 29.15 TR
64 2 350 35 60 8 2.0 8.5 35.39 TR
65 2 350 30 55 5.5 1.4 11 23.17 CH
66 2 350 35 55 7.5 1.9 7.5 29.75 TR
67 2 350 30 55 6.5 1.6 9 27.05 TR
68 2 350 35 65 8 2.0 9.5 35.78 TR
69 2 350 40 65 8.5 2.1 9.5 40.31 TR
70 2 350 30 55 5.5 1.4 13.5 29.44 CH
71 3 210 25 40 5 2.5 5 0.00 CH
72 3 210 25 45 5.5 2.8 6 10.82 TR
73 3 210 30 55 7.5 3.8 6 21.99 TR
74 3 210 35 55 8 4.0 6 24.17 CH
75 3 210 30 55 8.5 4.3 5 21.01 TR
76 3 210 25 45 5.5 2.8 6 7.29 TR
77 3 210 30 50 6 3.0 7 13.75 TR
78 3 240 25 40 4.5 2.3 6 10.32 TR
79 3 240 25 40 4.5 2.3 6.5 6.52 CH
80 3 240 30 45 6 3.0 7 16.79 CH
81 3 240 30 50 6.5 3.3 8 23.07 TR
82 3 240 35 65 8.5 4.3 9.5 29.93 TR
83 3 240 30 50 5 2.5 11 10.13 TR
84 3 240 30 55 5.5 2.8 12.5 17.08 TR
85 3 280 25 40 5.5 2.8 5 11.99 TR
86 3 280 35 55 7 3.5 11 24.07 CH
87 3 280 35 55 7.5 3.8 9.5 25.60 TR
88 3 280 35 55 9.5 4.8 6 19.75 TR
89 3 280 35 65 10 5.0 7.5 32.51 TR
90 3 280 35 65 8.5 4.3 11 28.77 TR
91 3 280 30 50 8.5 4.3 4.5 4.59 CH
92 3 300 25 40 5 2.5 5.5 9.42 CH
Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
38
93 3 300 30 50 6.5 3.3 8.5 19.01 TR
94 3 300 30 50 6.5 3.3 6.5 18.96 TR
95 3 300 35 60 9 4.5 8.5 28.91 TR
96 3 300 25 45 5 2.5 9 20.44 TR
97 3 300 30 55 8.5 4.3 6.5 21.93 TR
98 3 300 30 55 6.5 3.3 11.5 29.15 CH
99 3 350 25 40 4.5 2.3 5.5 35.39 TR
3 350 30 55 6.5 3.3 11 23.17 TR
3 350 30 45 7 3.5 7 29.75 TR
3 350 30 55 7.5 3.8 9.5 27.05 CH
3 350 40 65 9.5 4.8 11 35.78 TR
3 350 40 65 10 5.0 10 40.31 CH
3 350 30 50 6 3.0 13 29.44 TR
2.2 Modelación difusa
La modelación difusa comprende el procedi-
miento para desarrollar un SIL. Existen dos en-
foques para crear modelos difusos [8]. El prime-
ro es llamado enfoque directo y consiste en crear
un SIL basado únicamente en el conocimiento
del técnico o experto quien conoce muy bien el
funcionamiento de un sistema. En este caso el
experto elabora las funciones de membresía, las
reglas difusas, escoge un SIL apropiado y evalúa
el modelo difuso. El segundo enfoque es cono-
cido como identicación del sistema y se basa en
la utilización de datos del tipo I/O reales a n de
generar de una manera automatizada un SIL tipo
Sugeno. En el presente estudio se utilizó esta téc-
nica a n de estimar el de una viga simplemente
armada y simplemente apoyada sometida a car-
gas uniformemente distribuidas.
2.3 Identicación del sistema
Para la realización de la identicación del siste-
ma se requiere del cumplimiento de dos fases que
son la identicación de la estructura y la identi-
cación de parámetros [9]. La primera fase consiste
en establecer las particiones o agrupamiento de
los datos I/O, el número y las reglas difusas de la
forma If – then. Los centros de los grupos de da-
tos (clústeres) son identicados mediante el mé-
todo de agrupamiento sustractivo [10] y son los
que determinan el número de reglas difusas y las
funciones de membresía que constituyen los an-
tecedentes. En la segunda fase se realiza el ajuste
de los parámetros del modelo a n de minimizar
errores a través de ANFIS.
2.3.1 Identicación de la estructura
Como se mencionó anteriormente, agrupamien-
to sustractivo [10] es el método de agrupamien-
to utilizado para determinar el número de reglas
difusas y las funciones de membresía. En este
método, cualquier punto es considerado como
un centro del grupo o clúster, reduciendo la carga
computacional signicativamente, aun para un
número grande de variables de entrada. Este mét-
odo es rápido ya que no envuelve optimización
no lineal y es recomendado cuando no se conoce
el número posible de centros de los clústeres. Por
las razones antes mencionadas se utilizará este
procedimiento en la presente investigación.
2.3.1.1 Agrupamiento sustractivo
En el presente método [10], cada punto de da-
tos es considerado como un potencial centro del
clúster y el valor potencial () de cada punto () está
denido por (1). Un punto de datos con muchos
puntos alrededor tendrá alto valor potencial y el
punto con mayor valor potencial será asignado el
primer centro. El valor de se lo puede calcular con
(2), donde , una constante positiva, es el radio de
inuencia del centro del clúster. Valores grandes
de producen menos centros de clústeres mientras
que valores pequeños generan más centros. Este
parámetro es especicado por el usuario y debe
ser basado en los resultados que se produzcan de
acuerdo a lo deseado. Luego los valores potencia-
les de los puntos restantes son actualizados con
respecto al primer clúster utilizando (3), donde
es el primer clúster identicado con su cor-
respondiente valor potencial, . El valor de
está denido por (4), donde es una constan-
te positiva denida por (5) y representa el radio
del vecindario que tiene reducciones medibles. El
valor de η es conocido como “squash factor” y 1.5
es un valor típico que asegura que los centros de
los clústeres no estén muy cerca unos de otros;
sin embargo, este valor deberá ser analizado de
acuerdo al caso.
(1)
Revista INGENIO N.º 1 vol. 2 (2019)
39
(2)
(3)
(4)
(5)
Luego de que se han calculado todos los valores
potenciales correspondientes con (3), el punto
con el más alto valor potencial llega a ser segun-
do clúster. Se procede de la misma manera para
actualizar los siguientes valores potenciales, pero
utilizando el segundo clúster y así sucesivamente
hasta obtener todos los clústeres según (6), donde
y son el clúster k
th
con su respectivo valor
potencial.
(6)
Como se mencionó anteriormente, el número
de clústeres identicados determina el número
de FMs y el número total de reglas difusas a uti-
lizarse. Los parámetros de cada FM gaussiana es-
tán dados por el centro de cada clúster; mientras
que el valor de la desviación estándar está deni-
do por (7).
(7)
Una vez que han sido generadas todas las FMs
tipo gaussiana, únicas posibles para ser usadas
con el modelo ANFIS, se continua con la sigui-
ente fase para la modelación difusa; en donde,
la identicación de los parámetros realizada con
ANFIS genera un SIL tipo Sugeno.
2.3.2 Identicación de parámetros
Cuando se utiliza el método de agrupamiento
sustractivo y ANFIS, el SIL es de tipo Sugeno de
primer orden, utiliza solamente FMs tipo gaus-
sianas, igual número de FMs y reglas difusas (re-
glas tipo If – then), con una salida calculada con
el método del peso promedio (valor discreto no
difuso).
2.3.2.1 Adaptive Neuro Fuzzy Inference System
(ANFIS)
ANFIS [7] es un modelo que combina las ventajas
de redes neuronales y lógica difusa permitiendo
que un SIL aprenda a través de un algoritmo hí-
brido que combina el método de la gradiente con
el de los mínimos cuadrados. ANFIS utiliza datos
existentes del tipo I/O de un sistema para tunear
o pulir las FMs y crear reglas difusas para un SIL
tipo Sugeno. La Fig. 5 muestra el mecanismo de
inferencia lógico tipo Sugeno y la manera en que
ANFIS ejecuta sus operaciones, con sus 5 capas,
a n de producir un resultado único, no difuso.
Cada capa tiene una función única a n de pro-
cesar la información recibida hasta producir el
resultado nal. La capa 1 es conocida como una
capa de entrada de datos y es donde se asigna un
grado de membresía a cada dato utilizando las
respectivas FMs gaussianas. Este proceso se lo
realiza con (8).
(8)
En la capa 2 se realiza la multiplicación (Π) de
todos los grados de membresía que convergen al
nudo para calcular los llamados “ring strengths”
representados por . La capa 3 es una capa donde
se normaliza cada Esto se lo consigue dividiendo
cada uno para la suma total de los , obteniendo
de esta manera . Luego en la capa 4, se calculan
los parámetros (consecuentes) de cada función ;
esto es los valores de y , con la utilización del
método de los mínimos cuadrados. Finalmente,
en la capa 5 se calcula un solo resultado nal ()
empleando el método del peso promedio.
Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
40
Figura 5. SIL tipo Sugeno y arquitectura ANFIS.
3. Resultados
El SIL para estimar el acero de refuerzo en vigas
de hormigón simplemente armadas y simplemen-
te apoyadas sometidas a cargas distribuida tiene
seis variables de entrada (f’c,b,h,luz,a,qu) y una
salida (As). Los parámetros utilizados para agru-
par los datos de entrada con el método de agrupa-
miento sustractivo fueron: relación de aceptación
( ) = 0.5, relación de rechazo ( ) = 0.15, rango
de inuencia (r
a
) = 0.95 y el factor “squash” (η) =
1.25, tratando de obtener el menor número posi-
ble de centros de clústeres. La Tabla 3 contiene los
resultados de los cinco clústeres resultantes de la
fase de identicación de la estructura que deter-
minan los parámetros de las FMs gaussianas (ci
y σi), mismos que fueron utilizados para obtener
los grados de membresía correspondientes a cada
dato de entrada.
Tabla 3. Parámetros de las funciones de membresía (FMs) gaussianas
Reglas
Difusas
µ
f’c
µ
b
µ
h
µ
luz
µ
a
µ
qu
σ c σ c σ c σ c σ c σ c
1 47.03 239.97 5.12 29.94 8.56 50.05 2.89 5.36 1.87 1.43 3.92 7.08
2 46.98 300.03 5.08 34.92 8.40 59.89 2.39 7.63 1.54 1.07 2.14 7.37
3 47.01 240.01 5.08 25.03 8.50 40.07 2.72 3.89 1.71 0.98 2.57 5.48
4 47.03 350.00 5.04 30.13 8.42 49.98 1.79 4.86 0.93 0.24 2.73 9.99
5 47.07 349.97 5.10 30.07 8.64 45.11 2.13 6.76 1.02 3.56 3.64 7.45
Las seis reglas difusas del tipo condicional (If –
then) generadas fueron las siguientes:
1. If (f ’c está en µ
f’c1
) y (b está en µ
b1
) y (h está en
µ
h1
) y (luz está en µ
luz1
) y (a está en µ
a1
) y (qu está
en µ
qu1
) then (As es f
1
)
2. If (f ’c está en µ
f’c2
) y (b está en µ
b2
) y (h está en
µ
h2
) y (luz está en µ
luz2
) y (a está en µ
a2
) y (qu está
en µ
qu2
) then (As es f
2
)
3. If (f ’c está en µ
f’c3
) y (b está en µ
b3
) y (h está en
µ
h3
) y (luz está en µ
luz3
) y (a está en µ
a3
) y (qu está
en µ
qu3
) then (As es f
3
)
4. If (f ’c está en µ
f’c4
) y (b está en µ
b4
) y (h está en
µ
h4
) y (luz está en µ
luz4
) y (a está en µ
a4
) y (qu está
en µ
qu4
) then (As es f
4
)
5. If (f ’c está en µ
f’c5
) y (b está en µ
b5
) y (h está en
µ
h5
) y (luz está en µ
luz5
) y (a está en µ
a5
) y (qu está
en µ
qu5
) then (As es f
5
)
La Tabla 4 resume los parámetros de las fun-
ciones calculados en la capa 4 cuando se uti-
lizan seis variables. Los valores resultantes de
estas funciones son multiplicados con los corre-
spondientes para luego ser agregados para dar el
resultado nal.
Tabla 4. Parámetros de las funciones f
i
f
i
p q r s t u v
1 0.034 1.241 0.041 2.247 -0.204 0.714 -49.523
2 0.015 0.063 -0.750 7.785 -2.874 4.959 -25.882
3 -0.015 -0.146 0.439 3.912 -0.532 1.264 -23.399
4 -0.081 -3.515 -1.390 12.172 -2.609 4.491 117.927
5 0.017 -0.569 -0.571 11.263 -8.563 2.480 -6.953
Revista INGENIO N.º 1 vol. 2 (2019)
41
3.1 Validación del modelo
La validación del modelo consiste en evaluar su
desempeño estimando nuevos datos y comparán-
dolos con los calculados. Para la validación del
modelo ANFIS se recomienda utilizar los datos
utilizados para chequear el modelo (CH) y no los
datos utilizados para entrenarlo (TR) [11]. Valo-
res estadísticos como el coeciente de correlación
R
2
y el error estándar (S), desviación estándar de
los residuales, permiten determinar si un modelo
se desempeña de manera adecuada [12, 13]. La
Fig. 6 representa el gráco de valores estimados
versus valores calculados, mismo que fue realiza-
do utilizando los datos de chequeo (CH).
Figura 6. Valores de estimados vs. calculados.
4. Conclusiones
El modelo difuso tipo Sugeno resultado de este
estudio, propuesto para estimar el acero de re-
fuerzo (As) de una viga simplemente armada, de
sección rectangular, simplemente apoyada, so-
metida a cargas distribuidas de tipo rectangular,
trapezoidal y triangulares, tiene un desempeño
aceptable de acuerdo a los resultados obtenidos.
De la Fig. 6, se puede evidenciar que el coecien-
te de correlación R
2
es alto (95.5%) los cual im-
plica que el SIL generado es capaz de predecir o
estimar nuevos datos de una manera aceptable. El
valor del error S calculado representa la desvia-
ción estándar de los residuales. Mientras mejor
un SIL estime nuevos valores, mayor será el va-
lor de R
2
y menor será el error S. A pesar de que
siempre va a existir un error cuando se estime
el valor de As, este no afectaría el diseño de una
viga signicativamente por cuanto el área efectiva
que se coloca en el elemento estructural (área de
acero real) depende de la suma de las áreas reales
de acero de refuerzo disponibles en el mercado;
por ejemplo, varillas de 10 mm, 12 mm o 14 mm.
Además, el área real de una varilla comercial no
tiene el área exacta que le corresponde al diáme-
tro respectivo debido a los resaltes propios de una
varilla corrugada y a su proceso de fabricación.
Generalmente se selecciona varillas comerciales
que sumen un área de acero ligeramente mayor
al área calculada. Lo cual sugiere que la precisión
no es un parámetro determinante cuando se trata
de colocar un As en una viga o cualquier elemen-
to estructural. Se necesita, de hecho, que el valor
estimado sea cercano al valor requerido (valor
necesario) y, en este caso, el modelo resultante de
este estudio (SIL tipo Sugeno) cumpliría satisfac-
toriamente con el objetivo propuesto.
El método de investigación empleado en este
estudio basado en datos reales, sean estos calcu-
lados o experimentales, podría ser extendido a
otras áreas del diseño de hormigón armado. To-
dos los códigos de construcciones, sean estos na-
cionales o internacionales, contemplan factores o
ciertas condiciones que brindan un determinado
grado de seguridad, evidenciando que los valores
calculados a través de ecuaciones no son necesa-
riamente “exactos”. Es cierto que ya existen ecua-
ciones o funciones denidas para calcular el As
en elementos estructurales; sin embargo, la teoría
de lógica difusa se la podría utilizar plenamente
para estimar valores, donde la exactitud no sea un
determinante.
La teoría de lógica difusa brinda la posibilidad
de elaborar o crear modelos, basados en lo que
se conoce como conocimiento previo; esto es, in-
formación existente como son datos históricos o
experimentales, a n de ganar conocimiento de
sistemas complejos a través de reglas del tipo con-
dicional.
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Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
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