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ISSN impresa 2588-0829
Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Optimización Matemática como Herramienta para la Toma de
Decisiones en la Empresa
Mathematical Optimization as a Tool for Decision-Making in the Company
Villarreal F.,
1
Montenegro D.,2 Nuñez J. 3
1 Universidad de Los Hemisferios, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Quito-Ecuador
1 Universidad de Girona, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Comunidad de Cataluña-España
e-mail: leninv@uhemisferios.edu.ec
2
IDE Business School, Quito-Ecuador
2Universidad de Los Hemisferios, Quito-Ecuador
e-mail: diegom@uhemisferios.edu.ec
3 Empresa Pública Metropolitana de Gestión Integral y Residuos Sólidos, Quito-Ecuador
e-mail: janneth.nunez@emgirs.gob.ec
Información del artículo
Recibido: 5/01/2021
Aceptado: 14/04/2021
DOI https://doi.org/10.29166/ingenio.v4i1.2738
RESUMEN
El presente trabajo de investigación se basa en una propuesta de generación de un modelo de progra-
mación lineal basado en la metodología simplex, cuyo objetivo es generar la optimización de recursos
para las empresas respecto a la selección de medios publicitarios con un presupuesto limitado y fijo, que
está sujeto a un costo de medios y posibles coberturas a potenciales clientes como valor esperado. El
modelo persigue maximizar la audiencia como agentes de generación de valor para el crecimiento de
las instituciones, teniendo en cuenta la conformación de un portafolio de opciones que les permitan a
las empresas capitalizar esta cobertura, ser conocidas y ganar reputación en el mercado, con el objetivo
final de rentabilizar la inversión. Se realiza una revisión de conceptos relacionados a la programación
lineal y aplicación del algoritmo simplex matricial, como método matemático de aporte de información
técnica, para una adecuada toma de decisiones de la empresa, cuyo principal resultado es la asignación
de publicidad en diferentes medios como televisión, radio y redes sociales; siendo este último uno de los
medios más accesibles y efectivos para que las empresas y sus marcas sean reconocidas. Se pueden reali-
zar varias simulaciones y adecuaciones según convenga.
Palabras clave:
Optimización matemática; método simplex; maximizar audiencia; medios publicitarios.
ABSTRACT
This research work is based on a proposal for the generation of a linear programming model based on
the simplex method methodology, whose objective is to generate the optimization of resources for com-
panies regarding the selection of advertising media with a limited and fixed budget, which is subject to
a cost of means and possible coverage to potential clients as expected value. The model seeks to maxi-
mize the audience as agents of value generation for the growth of the institutions, taking into account
the formation of a portfolio of options that allow companies to capitalize on this coverage, be known
and gain a reputation in the market, with the final goal of making the investment profitable. A review of
concepts related to linear programming and application of the simplex matrix algorithm is carried out,
as a mathematical method of providing technical information, for an adequate decision-making of the
company, whose main result is the allocation of advertising in different media such as television, radio
and social networks; the latter being one of the most accessible and effective means for companies and
their brands to be recognized. Various simulations and adjustments can be made as appropriate.
Keywords:
Mathematical optimization; simplex method; maximize audience; advertising media.
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Logística y
transporte
Operaciones,
producción y mezclas
Eficiencia de Banca
pública y privada
Finanzas,
inversiones
Optimización
matemática
Talento humano en
asignación de tareas
Investigación de
mercados, Marketing
Economía,
asignación
presupuestaria
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1. Introducción
Las primeras actividades formales de la investiga-
ción de operaciones se dan en Inglaterra durante
la Segunda Guerra Mundial con motivo de la lo-
gística del material bélico que debía transportarse
y optimizar tiempo y recursos para llegar al desti-
no adecuado lo más pronto posible. Los mandos
militares solicitaron la colaboración de científicos
para la resolución en tiempo real de problemas es-
tratégicos y tácticos en el desarrollo de la guerra.
De ahí en adelante, esta técnica se fue depurando
y ambientándose a los esquemas empresariales
para mejorar la eficiencia en la gestión adminis-
trativa, financiera, operativa, logística y toda acti-
vidad que conlleve a mejorar la productividad de
los agentes económicos [1].
Varios de los avances de la programación mate-
mática se deben a que en la actualidad se encuen-
tran asociados al desarrollo y uso de tecnologías
como las aplicaciones de software para generar y
analizar mega datos, métodos cada vez más abre-
viados de cálculo matemático, que hacen posible
que aquellos problemas que tardaban días, sema-
nas, meses incluso hasta años, se puedan resolver
casi de manera inmediata.
La investigación operativa es un proceso de me-
jora continua, pues con el pasar de los años, se
encuentran varias utilidades a sus aplicaciones,
como, por ejemplo, en la década de los setenta
surge con Farrell una medida satisfactoria de
eficiencia productiva, que toma en cuenta to-
dos los inputs o recursos empleados generado
una salida llamada output que es el resultado de
la eficiencia [2]. Es importante indicar que esta
rama de las matemáticas reúne un conjunto de
aplicaciones en varios campos como la Física,
Economía, Sociología y en especial en la Admi-
nistración de Empresas, debido a que procura
encontrar la una relación causa-efecto median-
te la aplicación de un modelo matemático. En el
ámbito empresarial es muy común la aplicación
de modelos de optimización para la selección de
medios de comunicación, y en publicidad para
generar la mezcla adecuada de medios a ser se-
leccionados, de manera que, partiendo de la
asignación de un presupuesto fijo como recurso
limitado, su respuesta permita abarcar la mayor
audiencia posible [2].
En materia de investigación de mercados se pue-
de aplicar la investigación operativa en el levan-
tamiento de encuestas [3], en programación de
la producción se utiliza para establecer un pro-
grama donde se toma en cuenta el tiempo para
maximizar o minimizar la ganancia o el costo
respectivamente, en la planeación de la mano
de obra es usada para calcular las necesidades
de personal durante cierto período, donde, por
ejemplo, los gerentes asignan individuos a pues-
tos de trabajo que requieren talentos afines y
flexibles a la temporada [3]. De igual forma, la
investigación operativa sirve para la selección de
portafolios de inversiones entre varias alternati-
vas, y así maximizar el rendimiento de la empresa
o de clientes en las instituciones financieras, to-
mando en cuenta el riesgo y las restricciones le-
gales [4]. En marketing para medir la efectividad
de una campaña publicitaria, considerando que
la optimización de los recursos es clave a la hora
de acaparar más audiencia, puesto que a mayor
número de personas que llegue un mensaje, este
puede convertirse en posibles futuras ventas y re-
ferencias en el mercado de consumo de un bien
o servicio. Las aplicaciones de la programación
lineal se muestran a continuación:
Figura 1. Aplicaciones a la programación lineal
Fuente: Elaborado por los autores a partir de (Coll y
Olga 2006).
Esta medición se realiza a través de plataformas
para obtener una visión holística e integrada de
cada campaña publicitaria, que a su vez está res-
paldada con calidad y precisión para intentar
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Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
convertir a la empresa en líder de la industria. Las
personas de la sociedad contemporánea viven en
una red de «medios» que transmiten y hacen po-
sible las noticias, la información y la publicidad.
Existen muchos conceptos utilizados en la pro-
gramación de medios como: la compra, alcance,
frecuencia, impresiones, participantes clave y re-
presentantes de medios, lo que hace compleja su
administración [5]; además, esta actividad tiene
como insumos y productos a anunciantes, agen-
cias, televisión, radio, internet, plataformas en
redes sociales, dispositivos móviles y tabletas. El
resultado final de la mezcla de todas estas premi-
sas es la realización de una campaña de comuni-
cación en tiempo real.
Revisión bibliográfica
Bermúdez [6] genera un estudio documental in-
formativo, en el que aborda los aportes de la co-
munidad científica, respecto a temas relacionados
con programación lineal, en las que evidencia que
los modelos de optimización basados en progra-
mación lineal son utilizados en ambientes reales
para la solución de problemas y ayuda a la toma
de decisiones que contribuyen a la reducción de
costos, mejorar la productividad en la planifica-
ción de la producción para el aprovechamiento de
la capacidad de reducción en inventarios.
Por otro lado, Alvarado [7] hace una revisión de
la aplicación en la programación lineal en la toma
de decisiones en la gestión de la pymes (pequeñas
y medianas empresas) como base de eficiencia en
el desarrollo social, en el que recomienda que los
profesionales de esta industria obtengan una ma-
yor habilidad en el manejo de esta técnica. Bona
et. al [8] hablan en su estudio sobre el desarrollo
en la optimización de procesos con variables con-
tinuas y variables cualitativas continuas, a partir
de la metodología simplex. En el software genera-
do, realizan modelos predictivos en dos procesos
distintos.
Existen aspectos relevantes de la experimentación
numérica en el algoritmo PSO, o conocido como
optimización de enjambre de partículas, de un
algoritmo híbrido hacia el método simplex que
optimiza la iteración de los parámetros con una
topología que permite generar este cambio con el
método simplex modificado [9]. Para complemen-
tar, De la Hoz, Vélez y López [10] presentan un
modelo de programación lineal multi - objetivo
para logística inversa del polipropileno, donde los
principales resultados muestran un mejoramien-
to del 12,6% en los costos asociados al programa
de planeación en los procesos asociados de recu-
peración del plástico, proveniente de los residuos
industriales sólidos urbanos con la función de mi-
nimización de costos.
Noguera y Posada [11] generan un estudio de
programación lineal aplicado a las raciones para
rumiantes (vacas lecheras) en el que estiman un
balance adecuado en la fabricación de alimentos
concentrados al menor costo posible, es decir, un
problema de programación lineal cuya función
objetivo es minimizar el costo del alimento con
la herramienta de Solver de Excel para Windows;
concluyendo que desde el punto de vista académi-
co la formulación de «dietas» utilizando progra-
mación lineal, permite crear distintos escenarios
productivos para que el investigador tenga mayor
criterio para la toma de decisiones.
En operaciones, los modelos de programación
lineal son útiles para la planificación de la pro-
ducción en que, utilizando una función objetivo
de minimización de costes en cuanto al tiempo
y los recursos y la consideración del nivel mí-
nimo de servicio ligado a la demanda diferida,
los resultados exponen una mejora en el modelo
propuesto respecto al procedimiento actual del
estudio [12]. De la misma forma, Ortiz y Caice-
do [13]. diseñan un procedimiento para la pro-
gramación y control de la producción de una
empresa de calzado con programación lineal y la
teoría de restricciones. El modelo identificó las
cantidades óptimas de fabricación, donde la fun-
ción objetivo es maximizar el throughput, proce-
dimiento que permitió controlar de manera efi-
ciente la producción de calzado con un modelo
que a su vez puede ser emulado por empresas de
condiciones y negocio similares.
En el caso de manejo y gestión de proyectos, la in-
vestigación de operaciones es útil como lo señala
Terrazas [14] para la mejor asignación de recur-
sos en actividades competidoras. En el análisis de
factibilidad de proyectos una dificultad es saber
ubicar un proyecto en las mejores condiciones
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operativas para minimizar costos y maximizar
ganancias. El beneficio radica en la resolución de
problemas técnicos de localización para encontrar
la viabilidad económica.
En la rama de las finanzas, la optimización mate-
mática ha incursionado de manera efectiva para la
toma de decisiones. María [15] aplica un modelo
de optimización lineal en el portafolio de dieci-
siete proyectos agroindustriales con restricción de
inversión para maximizar el retorno al inversor,
permitiendo que el modelo trabaje en la combina-
ción de variables, considerando la tasa de oportu-
nidad para el stakeholder. Prieto, González y Arce
[16] generan un modelo de optimización de selec-
ción de cartera para relacionar la rentabilidad es-
perada ligada a la esperanza matemática y el ries-
go inherente de la cartera dado por la desviación
estándar. En su estudio de caso evidencian un au-
mento de la tasa de rendimiento de la cartera en
cinco activos analizados durante diez períodos de
tiempo, basados en las teorías definidas por Harry
Markowitz.
Producir y vender frente a gestionar clientes ha
sido el dilema de marketing (y de la publicidad)
que no se ha podido resolver hasta ahora. La cien-
cia del management hay que abordarla como un
corpus doctrinal al servicio del éxito en los ne-
gocios y es clave aprovechar las oportunidades
del mercado para obtener una rentabilidad mejor
[17]. Schumpeter [18], el menos interesado de to-
dos los gurús por el beneficio, pone en manos de
los productores la capacidad de impulsar el cre-
cimiento económico de la sociedad y enfatiza el
valor social del emprendimiento. Chandler [19]
parte del análisis de los casos para concebir la es-
trategia como el camino al éxito. Porter [20] se
adentra en el análisis de las fuerzas competitivas
del mercado para alcanzar aquellas ventajas que
conducen a una mejor rentabilidad de la inver-
sión. Mintzberg [21] menciona que la estrategia
ha de definirse a través de la integración y la com-
plementariedad de sus distintas acepciones: como
plan o guía para abordar una situación, como
pauta o acción para ganar a la competencia, como
patrón o comportamiento que se quiere producir,
como posición y perspectiva de percibir las cosas.
Y dentro de esta perspectiva se encuentra el
marketing, mercadotecnia, mercadeo, estrategia
comercial, publicidad, propaganda, gestión de
mercado, etc. Todas estas palabras se usan para
abarcar todo lo que incumbe a las relaciones entre
las empresas y los clientes. Originalmente, el mar-
keting se responsabilizaba de vender a los clientes
los productos fabricados por los estrategas; has-
ta bastante más tarde, el marketing es concebido
como el conjunto de actividades empresariales
que dirigen el flujo de bienes y servicios del pro-
ductor al consumidor. En las revisiones posterio-
res del concepto por parte de la AMA (American
Marketing Association), surge la idea de inter-
cambio y adquiere relevancia la creación de valor:
el marketing es la actividad, el conjunto de institu-
ciones y procesos para crear, comunicar, distribuir
e intercambiar ofertas que tengan valor para los
consumidores, los clientes, los socios y la sociedad
en general [22]. Montenegro y Calvache [23] van
más allá al mencionar que el marketing tradicio-
nal se ha olvidado de los detalles para descubrir
pensamientos ocultos (creencias) y sensaciones
motivantes; «el marketing de ahora en adelante
debe dejar de lado las teorías tradicionales y atre-
verse a generar o descubrir otras con una predis-
posición disruptiva, arremetiendo técnicamente
hacia una nueva forma de ver y entender al clien-
te, valorando sus sentimientos y sensaciones».
Como parte fundamental de este marketing mo-
derno está la comunicación. La comunicación es
un conjunto de elementos y actividades dedicados
a la interacción de mensajes, productos, marcas,
ideas e informaciones entre la organización, el
cliente y los stakeholders que, de la manera más
eficaz posible, se convierte en flujos permanentes
de intercambios. En el marketing tradicional, la
relación era unilateral: el emisor era la empresa
y los receptores los clientes a los cuales había que
buscar y presionar para que aceptaran el mensa-
je y los soportes, los medios de comunicación se
gestionaban mayoritariamente desde los emisores.
Ahora, todos los agentes son emisores y recepto-
res, al tiempo que actúan codificando y descodifi-
cando los contenidos que surgen en medio de los
importantes ruidos que se generan a lo largo del
proceso de transmisión; por su parte, internet ha
desbloqueado la unidireccionalidad al otorgar po-
der para emitir mensajes a su antojo [17].
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Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Para esto, la publicidad usa los medios de comuni-
cación masiva como parte esencial de sus mensajes,
para llevar información persuasiva a los mercados
de la empresa. Mientras una pieza no se difunda,
no existe mensaje. Cuando se piensa algo o se tiene
un arte final en la pantalla del computador, no se ha
generado todavía comunicación: hay que establecer
contacto con el receptor. Sin medios no existe pu-
blicidad. Es tal la importancia de los medios, que a
medida que estos cambian, la publicidad evoluciona
[24]. La transformación digital ha llevado a la publi-
cidad a los medios en línea. Para Wells, Moriarty y
Burnett [5] este tipo de comunicación tiene como
propósito dar un mensaje de recordación de marca
a quienes visitan una página web (o redes sociales),
transmite un mensaje informativo y persuasivo; sin
embargo, el más importante de los propósitos es la
compra instantánea o la viralización de la oferta.
Por otra parte, los medios de comunicación masiva
utilizan su capacidad de llegar a las personas, ven-
der publicidad, difundir ideas políticas, posicionar
marcas, por su gran capacidad de influencia sobre
los núcleos de población a los que van dirigidos. Una
buena estrategia publicitaria muy probablemente
generará beneficios extraordinarios a las firmas que
sepan aprovecharlas. Pero, cuando esta capacidad
de influencia sobre la población se utiliza inadecua-
damente puede generar injusticias para quienes no
pueden acceder a dichos medios masivos.
En las aplicaciones de las tácticas del marketing,
será muy usual optimizar los recursos asignados a
la selección de medios de comunicación, que ayu-
dan a los directivos y gerentes a repartir recursos
fijos para extractos o comerciales en periódicos,
radio, revistas especializadas, canales de televisión,
redes sociales y bases de datos de correos elec-
trónicos. Para Anderson et. al [25] el objetivo del
problema de programación lineal es maximizar la
cobertura de la audiencia, basado en la frecuencia
de repetición de la publicidad y la calidad de la in-
formación que se emite, y las restricciones están
sujetas a políticas de la empresa, contratos y dispo-
nibilidad de los medios publicitarios.
2. Metodología
El modelo de programación lineal
Es importante el planteamiento de las restriccio-
nes que se van a utilizar, alternativas de decisión y
la selección de criterios de la función del objetivo
a maximizar o minimizar. Para Taha [26] la so-
lución al modelo matemático responde a si satis-
face todas las restricciones y a su vez se optimiza
cuando genera el mejor valor posible. La progra-
mación lineal involucra modelos que parten de la
función objetivo y restricciones lineales; es decir,
la variable se encuentra elevada a la potencia uno.
Otros métodos son la programación entera en el
que algunas variables asumen números enteros,
así como también la programación dinámica que
involucra al modelo original que se descompone
en varios problemas pequeños pero manejables, la
programación en red y la programación no lineal
cuyas funciones son no lineales.
Las iteraciones son repeticiones que se encuen-
tran dentro de los algoritmos que conducen a la
solución óptima; pero, no todos los modelos ma-
temáticos pueden ser resueltos con algoritmos,
por lo que es necesario acudir a la solución heu-
rística y meta-heurística.
Fases del estudio de programación matemática
Las fases que conducen a la resolución del mode-
lo de programación lineal (Figura 2), parte de la
definición del problema, generación de base de
datos y variables, desarrollo de iteraciones hasta
llegar a la solución óptima principalmente. Este
tipo de modelos, tal como ocurre en proyectos
tecnológicos de desarrollo de aplicaciones, debe
trabajarse en sociedad, donde los expertos en la
modelación matemática trabajan en conjunto con
quiénes demandan la solución a un problema;
considerándose así a la programación matemáti-
ca como una ciencia y un arte [3]. Soot [27] afir-
ma que sin importar el campo del cual provenga
el problema y lo específico del tema abordado, se
analiza el proceso con un modelo matemático que
contiene las fases de la programación matemática,
tal como se indica en la siguiente figura:
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Inicio
Definición del
problema
Base de
datos
Generar Variables -
supuestos / hipótesis
Desarrollar solución e
iteraciones
NO
Solución es
óptima
•
Los problemas de programación matemática
disponen de una o más restricciones.
•
Siguen cursos de acción alternativos.
•
Poseen certeza y divisibilidad.
•
Las variables son no negativas.
El método Simplex
Es un procedimiento general de programación
matemática para llegar a la solución óptima que se
obtiene en un número finito de pasos. Estos son:
•
La solución es cualquier conjunto de variables que
satisfacen las restricciones del problema (Ax=B).
Analizar solución
SI
Fin
Implementar solución
Figura 2. Fases del proceso de modelado de
programación matemática
Render, Stair y Hanna [3] muestran varias propie-
dades a tomar en cuenta en los problemas de pro-
gramación matemática, estas son:
•
Los problemas de programación matemática tienen
como función objetivo maximizar o minimizar.
Procedimiento de forma matricial
•
La solución factible es aquella que satisface la
no - negatividad de las restricciones (X
j≥0
).
•
La solución básica del sistema de m ecuacio-
nes lineales son n variables Ax=B, (m<n), cuyo
rango R(A)=m (variables básicas). La solución
es n-m=0; y, resolviendo para las m variables
restantes, cuando el determinante de sus coefi-
cientes no sean cero.
•
La solución básica factible es tal, que todas las
variables básicas x
j≥0
•
La degeneración de una solución básica se da si
una o más variables básicas son iguales a cero.
Figura 3. Proceso de metodología Simplex
Fuente: Notas del método simplex. Martínez, H.
Problema en forma estándar.
Se determinan las matrices:
𝐴, 𝑏, 𝐵, 𝐶
𝑗,
𝐶
𝐵,
𝑦 𝑋
𝐵.
. Se obtiene Se
obtiene
𝐵 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 (𝐵
−1
).
Se obtiene
𝑋
𝐵
=
𝐵
−1
𝑏 𝑦 𝑍 = 𝐶
𝐵
𝑋
𝐵.
Determinar la variable que ingresa a la base de solución.
Se obtienen
𝑍
𝑗
− 𝐶
𝑗
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎𝑠.
𝑍 = 𝐶
𝐵
𝑌
𝑗
𝑦 𝑌
𝑗
= 𝐵
−1
𝑎
𝑗
.
Las
𝑌
𝑗
de las variables básicas forman
las columnas de la matriz I, y las
𝑍
𝑗
− 𝐶
𝑗
= 0 .
Si es maximización, entra la variable que tenga
el más (-);
𝑍
𝑗
− 𝐶
𝑗
,
y se alcanza la solución
óptima cuando todos los valores sean positivos
Si es minimización entra la variable que tenga el
más(+);
𝑍
𝑗
− 𝐶
𝑗
,
la solución óptima es cuando todos
los valores sean negativos en el análisis
𝑍
𝑗
− 𝐶
𝑗
Se determina la variable que sale de la solución,
𝑋
𝐵𝑖
𝑋
𝐵1
𝑋
𝐵2
𝑀𝑖𝑛
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑌 > 0 = 𝑀𝑖𝑛
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑌 > 0
𝑌
𝑖𝑟
𝑖𝑟
𝑖𝑟
𝑌 𝑌
1𝑟 2𝑟
En la matriz la columna B de la variable que tuvo el
𝑀𝑖𝑛 =
𝑋
𝐵𝑖
, abandona la base de solución y entra en su lugar la
𝑌
𝑖𝑟
columna de la variable r y se retorna al paso 2, hasta llegar
al criterio de optimización.
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Tabla del método Simplex
Tabla1. Matriz Método Simplex.
𝑐
𝑗
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
...
𝑥
𝑛
𝑥
𝐵𝑟
𝑦
𝑟𝑗
𝑍
𝑗
𝑍
𝑗
-
𝑐
𝑗
b = variables básicas.
Z* = función objetivo (Max - Min)
C
j
= Vector de costos y C
B
Vector de componen-
tes C
Z
j
= C
B
X
B
y Z
j
-C
j
= C
B
X
B
-C
j
Y
rj
= Nueva solución básica factible
Datos, definición de variables y modelo ma-
temático
En la tabla siguiente, se recogen los datos e in-
formación de medios de comunicación y publi-
Fuente: Notas del método simplex. Martínez, H.
Donde:
X
B
= Vector de la solución básica factible.
citarios para la investigación, tomados de fuente
primaria de los costos proporcionados por los
oferentes.
Tabla 2. Datos medios de comunicación, costos y audiencia.
Televisión (semanal)
Canal Horario Variable Programa Costo
Spot
(segundos)
Máx. anuncios
por semana
Ecuavisa
Matutino x1 Contacto directo
$ 745,00
30 178.750 9
Vespertino x2 En contacto
$ 985,00
30 121.960 10
Nocturno x3 Noticiero
$ 1.150,00
30 209.060 12
Radio
Fluminense
Matutino
Vespertino
nocturno
Prensa
Nombre
Día de la
semana
Variable
Ubicación
en portada
Costo
I m p r e -
Máx. anuncios
por semana
El Comercio
Lunes a
sábado
Media
x6 Interior
$ 1.294,00
página
Media
284.762 5
Domingo x7 Interior
$ 552,00
Redes sociales
página
466.728 1
Nombre
Día de la
semana
Variable
Ubicación
en portada
Costo
Imagen
Spot
Máx. anuncios
por semana
Facebook
Instagram
Semana x8 Videos
$ 150,00
5 50.000 45
Fuente: Recolección de datos e información de medios publicitarios en Quito (2020).
Audiencia
Audiencia
Audiencia
𝑐
1
𝑐
2
𝑐
3
...
𝑐
𝑛
𝐶
𝐵
𝑋
𝐵
𝑏
𝑍
∗
𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
...
𝑎
𝑛
x4
Música
$ 360,00
30
356.901
18
x5
Noticias
$ 315,00
30
250.710
22
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Definición de variables
x1=número de spots en Tv (1) de 30sg horario
matutino
x2=número de spots en Tv (1) de 30sg horario
vespertino
x3=número de spots en Tv (1) de 30sg horario
nocturno
x4=número de spots en radio (1) de 30sg horario
matutino
x5=número de spots en radio (1) de 30sg horario
vespertino/nocturno
x6=número de anuncios prensa (1) portada lunes
a sábado
x7=número de anuncios prensa (1) interior/do-
mingo
x8=número de spots en Facebook-Instagram /se-
mana
Modelo de programación matemática
Generadas las variables, se escriben las expresio-
nes matemáticas para el objetivo y las restriccio-
nes identificadas. Las restricciones de no negativi-
dad se establecen en forma explícita.
Función objetivo: maximizar la cobertura de la
audiencia con la mezcla de todas las variables, ge-
nerando escenarios básicos.
Max Z=17.8750x1+121.960x2+209.060x3+356.90
1x4+250.710x5+284.762x6+466.728x7+50.000x8
Restricciones (escenarios básicos):
Como la restricción 1 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X9.
Como la restricción 2 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X10.
Como la restricción 3 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X11.
Como la restricción 4 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X12.
Como la restricción 5 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X13.
Como la restricción 6 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X14.
Como la restricción 7 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X15.
Como la restricción 8 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X16.
Como la restricción 9 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X17.
Como la restricción 10 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X18.
Como la restricción 11 es del tipo ‘≤’ se agrega la
variable de holgura X19.
Modelo matemático de programación con la
forma estándar:
Se pasa el problema a la forma estándar, añadien-
do variables de exceso, holgura, y artificiales se-
gún corresponda (mostrar/ocultar detalles)
MAXIMIZAR: Z = 178750 X1 + 121960 X2 +
209060 X3 + 356901 X4 + 250710 X5 + 284762
X6 + 466728 X7 + 50000 X8
1 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 9
0 X1 + 2 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 10
0 X1 + 0 X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 12
0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 1 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 18
0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 1 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 22
0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 1 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 5
0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 1 X7 + 0 X8 ≤ 1
0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 1 X8 ≤ 45
745 X1 + 985 X2 + 1150 X3 + 360 X4 + 315 X5 + 1294 X6 +
552 X7 + 150 X8 ≤ 10000
0 X1 + 0 X2 + 0 X3 + 1 X4 + 1 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 ≤ 0
745 X1 + 985 X2 + 1150 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0
X8 ≤ 2000
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 ≥ 0
Modelo matemático de programación matemá-
tica, forma Matricial (Método
Simplex
):
MAXIMIZAR: Z = 178750 X1 + 121960 X2 +
209060 X3 + 356901 X4 + 250710 X5 + 284762
X6 + 466728 X7 + 50000 X8 + 0 X9 + 0 X10 + 0
X11 + 0 X12 + 0 X13 + 0 X14 + 0 X15 + 0 X16 + 0
X17 + 0 X18 + 0 X19
Sujeto a
1 X1 + 1 X9 = 9
0 X1 + 2 X2 + 1 X10 = 10
0 X1 + 1 X3 + 1 X11 = 12
0 X1 + 1 X4 + 1 X12 = 18
0 X1 + 1 X5 + 1 X13 = 22
0 X1 + 1 X6 + 1 X14 = 5
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ISSN impresa 2588-0829
Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
0 X1 + 1 X7 + 1 X15 = 1
0 X1 + 1 X8 + 1 X16 = 45
745 X1 + 985 X2 + 1150 X3 + 360 X4 + 315 X5 +
1294 X6 + 552 X7 + 150 X8 + 1 X17 = 10000
0 X1 + 1 X4 + 1 X5 + 1 X18 = 0
745 X1 + 985 X2 + 1150 X3 + 1 X19 = 2000
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10, X11,
X12, X13, X14, X15, X16, X17, X18, X19 ≥ 0
3. Resultados y discusión
Para efectos de presentación, se mostrará a con-
tinuación los resultados generados en PHP-Sim-
plex. Para llegar al resultado deseado, el modelo
indica que deben pasar por ocho interacciones
hasta llegar al resultado final. Se presentan las dos
primeras interacciones y la séptima en este apar-
tado, y de la tercera a la sexta se incluyen en los
anexos de este documento (Anexos 1: interacción
3, Anexo 2: interacción 4, Anexo 3: interacción 5,
Anexo 4: interacción 6, Anexo 5: interacción 7).
Tabla 3. Resultado de la primera interacción del método simplex
Tabla 1
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
0
9
1
0
0
0
0
0
0
0
P10
0
10
0
2
0
0
0
0
0
0
P11
0
12
0
0
1
0
0
0
0
0
P12
0
18
0
0
0
1
0
0
0
0
P13
0
22
0
0
0
0
1
0
0
0
P14
0
5
0
0
0
0
0
1
0
0
P15
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
P16
0
45
0
0
0
0
0
0
0
1
P17
0
10000
745
985
1150
360
315
1294
552
150
P18
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
P19
0
2000
745
985
1150
0
0
0
0
0
Z
0
-178750
-121960
-209060
-356901
-250710
-284762
-466728
-50000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
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P18
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1
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0
0
0
0
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0
49
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2697-3243
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N.°
1
(2021)
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
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0
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0
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0
0
1
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1
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1
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0
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0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fuente: Recolección de datos e información de medios publicitarios en Quito.
De acuerdo a la técnica del método simplex se indica la variable que «sale» de la base es P15 (resaltada
en color verde) y a su vez la variable que «entra» es P7 que se encuentra en la misma columna.
Tabla 4. Resultado de la segunda interacción del método simplex
Tabla 2
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
0
9
1
0
0
0
0
0
0
0
P10
0
10
0
2
0
0
0
0
0
0
P11
0
12
0
0
1
0
0
0
0
0
P12
0
18
0
0
0
1
0
0
0
0
P13
0
22
0
0
0
0
1
0
0
0
P14
0
5
0
0
0
0
0
1
0
0
P7
466728
1
0
0
0
0
0
0
1
0
P16
0
45
0
0
0
0
0
0
0
1
P17
0
9448
745
985
1150
360
315
1294
0
150
P18
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
50
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Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
P19
0
2000
745
985
1150
0
0
0
0
0
Z
466728
-178750
-121960
-209060
-356901
-250710
-284762
0
-50000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-552
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
466728
0
0
0
0
Fuente: Recolección de datos e información de medios publicitarios en Quito.
La interacción 2 del método simplex presenta que la variable que «sale» de la base de la matriz es P18
(resaltada en color verde) y a su vez la variable que «entra» en la matriz es P4 que se encuentra en la
misma columna.
Tabla 5. Resultado de la séptima interacción del método simplex
Tabla 8
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
0
6.315
0
-1.322
-1.543
0
0
0
0
0
P10
0
10
0
2
0
0
0
0
0
0
P11
0
12
0
0
1
0
0
0
0
0
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2697-3243
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P12
0
18
0
0
0
0
-1
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0
0
P13
0
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0
0
0
0
1
0
0
0
P6
284762
0.539
0
-8,70E-04
0
0
(-0.03)
1
0
0
P7
466728
1
0
0
0
0
0
0
1
0
P14
0
4.460
0
8,70E-04
0
0
0.034
0
0
0
P8
50000
45
0
0
0
0
0
0
0
1
P4
356901
0
0
0
0
1
1
0
0
0
P1
178750
2.684
1
1.322
1.543
0
0
0
0
0
Z
3.350198
0
1.143
6.686
0
9.628
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(-0.001)
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(-0.426)
(-0.115)
0.0007
(-0.27)
(-0.0007)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0.426
0.115
(-0.0007)
0.278
0.0007
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.001
0
0
0
0
0
0
3.452
1.699
2.200
2.776
1.986
Fuente: Recolección de datos e información de medios publicitarios en Quito.
52
ISSN impresa 2588-0829
Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
Finalmente, en la interacción 7 se encuentra el re-
sultado de maximizar el modelo matemático en el
renglón Z al final de la tabla.
La solución óptima para este modelo de progra-
mación lineal de ocho variables y once restric-
ciones se muestra en el modelo matemático re-
presentado en su forma estándar, para luego ser
registrado en forma de matriz. Para llegar al resul-
tado final, el modelo requiere pasar por ocho in-
teracciones; es decir, considera en cada una de las
variables que «salen» del modelo y aquellas que
«entran», representada en la tabla requerida del
método simplex. La solución óptima requiere que
los anuncios sean distribuidos en televisión matu-
tina expresados en la variable X1, con aproxima-
damente tres spots semanales. Del mismo modo
el modelo requiere que con el presupuesto limita-
do de $10.000 se genere actividad publicitaria en
prensa entre los días lunes a sábado al menos en
una ocasión, representado por la variable X6; y, el
domingo de acuerdo a la variable X7. Finalmente,
en el transcurso de la semana es indispensable que
se utilicen las redes sociales como estrategia de
medios publicitarios, siendo este el medio menos
costoso y de cobertura en la actualidad. En este
caso el modelo requiere de la totalidad de datos
presentados inicialmente en la tabla 2 referente a
medios de comunicación, costos y audiencia; es
así que, los resultados son 45 anuncios como valor
máximo en la semana; tomando en cuenta que,
en el resto de medios publicitarios, al menos para
este escenario, no deben ser utilizados.
La solución óptima es Z = 3350198.0036513
X1 = 2.6845637583893
X2 = 0
X3 = 0
X4 = 0
X5 = 0
X6 = 0.53941267387944
X7 = 1
X8 = 45
En función de las restricciones, considerando costos,
cobertura de audiencia y ciertas condiciones pre-
sentadas en el modelo, se espera que la cobertura de
audiencia semanal utilizados en las variables X1; X6;
X7 y X8 sea de 3.350.198 personas, con la combina-
ción de todas las posibilidades que arroja el modelo.
4. Conclusiones
En Ecuador, la programación del marketing y la
comunicación dentro de una estrategia competi-
tiva y sostenible en el tiempo, todavía es una tarea
pendiente. Apenas el 19,9% de las organizaciones
en este país han incorporado de manera decidida
a esta ciencia, y a la utilización de medios online
y offline para lograr mayor difusión de sus pro-
ductos, servicio o soluciones en el mercado local
o internacional; un 28,6% de empresas no utilizan
para nada marketing dentro de sus modelos de
negocio. Esto también está en concordancia con
la generación de nuevas formas o canales de venta
como las «plataformas de intercambio de produc-
tos» que para antes de la pandemia de covid-19
eran solamente usadas por el 5,8% de las compa-
ñías comerciales, contra 61,6% que nunca habían
pensado en esta forma de acercarse a los clientes.
El mensaje publicitario y de comunicación tam-
bién es un aspecto imprescindible para llegar a los
consumidores, solamente un 8,3% de las empresas
consideran importante la creación de contenidos
y un 50,4% no le prestan atención a este impor-
tante detalle estratégico [28].
Para poder profesionalizar la toma de decisiones
en estos aspectos, la programación lineal en cual-
quiera de sus técnicas, como es el caso del método
simplex, propone la solución a problemas reales
de las empresas. Haciendo uso de paquetes in-
formáticos es posible simular múltiples variables
y escenarios para la evaluación de estrategias que
optimicen el costo y maximicen los beneficios, y,
en este caso, generar la óptima cobertura de clien-
tes. Son varias las ventajas que este tipo de mode-
los brinda, y que están al alcance de las empresas
y sus miembros para aplicar técnicas de investi-
gación con programación matemática en muchos
campos empresariales como: inversiones, logística
y operaciones, talento humano, investigación y
marketing, economía, entre otros.
En la actualidad, con el uso de la tecnología, las
empresas utilizan los medios de información
como más crean conveniente de acuerdo a los
fines necesarios. Por ejemplo, las redes sociales
(que son un medio de comunicación masivo) lle-
gan a una variada audiencia, y es un método muy
explotado y aceptado por el público objetivo en
los diferentes dispositivos tecnológicos actuales.
53
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2697-3243
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V
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.
4
N.°
1
(2021)
Es importante resaltar que la técnica de progra-
mación matemática aplicada brinda un portafolio
óptimo de asignaciones para lograr un resultado
adecuado, permite evaluar los costos basados en
la cobertura de audiencia requerida con un pre-
supuesto limitado y fijo, identificando costos de
oportunidad y rangos establecidos en los recur-
sos. La facilidad de la formulación y adopción del
software especializado, ayuda a desarrollar con
precisión modelos lineales y no lineales; resaltan-
do, además, que los profesionales involucrados en
las empresas pueden generar la habilidad y des-
treza para abordar la resolución de problemas
para maximizar las utilidades y minimizar los
costos, así como también la asignación de tiem-
pos a las actividades.
Referencias
[1] Alvarado, J. (2009). La Programación Li-
neal, Aplicación de las Pequeñas y Medianas
Empresas. Reflexiones, 89-105. Obtenido de
https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/reflexio-
nes/article/view/11511/10857
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7. Anexos
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Tabla 3
178750
121960
209060
356901
250
710
284762
466728
50000
Base
Cb P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
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P17
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150
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2000
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466728
-178750
-121960
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P19
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55
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2697-3243
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(2021)
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466728
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356901
0
La variable que «sale» de la base es P14 y la que «entra» es P6.
Anexo 2: Interacción 4.
Tabla 4
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
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P8
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ISSN impresa 2588-0829
Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
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1890538
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0
La variable que «sale» de la base es P19 y la que «entra» es P3.
Anexo 3: Interacción 5.
Tabla 5
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
Base
Cb
P0
P1
P2
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0
0
356901
1.817
La variable que «sale» de la base es P17 y la que «entra» es P8.
Anexo 4: Interacción 6.
Tabla 6
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
Base
Cb
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P1
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3.333
236901
(-151)
La variable que «sale» de la base es P16 y la que «entra» es P14.
59
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2697-3243
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N.°
1
(2021)
Anexo 5: Interacción 7.
Tabla 7
178750
121960
209060
356901
250710
284762
466728
50000
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(-0.64)
(-0.85)
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P12
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3.233
(-433)
5.710
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9.628
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0
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
1
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
1
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0
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0
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(-0.0008)
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0
0
1
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0
0
0
-1
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0
0
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0
1
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0
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0
0
0
0
0
0
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0
(-0.42)
(-0.11)
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(-0.0007)
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0
0
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(-0.0007)
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1
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0
60
ISSN impresa 2588-0829
Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
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1
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0
0
0
0
0
0.0008
0
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0
0
0
0
3.452
1.699
2.200
2.776
-3.827
La variable que «sale» de la base es P3 y la que «entra» es P1.
