REVISTA INGENIO
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de
reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
Optimal location of voltage regulation equipment and reactive compensation for medium
voltage feeders, through evolutionary algorithms
Carlos Carreño | Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
Juan Avilés | Universidad Politécnica Salesiana, Ecuador
https://doi.org/10.29166/ingenio.v5i1.3578 pISSN 2588-0829
2022 Universidad Central del Ecuador eISSN 2697-3243
CC BY-NC 4.0 —Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 4.0 Internacional ng.revista.ingenio@uce.edu.ec
2022, (), -, . -
Currently, voltage regulation in distribution networks plays an important role in the economic grow-
th of a country and human progress, given that a good quality of electrical service delivered to end
users has a direct eect on the productivity of the industries, education, health, communication services
and drinking water supply. is article proposes a short-term solution to the problem of low voltage in
medium voltage networks, with the optimal input of voltage regulation equipment through a genetic
algorithm in Matlab that will evaluate the electrical parameters of the network before and aer to install
the compensation equipment, complying with the current regulation Arconel 005/18 in the Ecuadorian
electricity sector.
En la actualidad, la regulación de voltaje en las redes de distribución tiene un rol importante para el
crecimiento económico de un país y progreso humano, dado que una buena calidad de servicio eléctrico
entregado a los usuarios nales provoca un efecto directo en la productividad de las industrias, la edu-
cación, salud, servicios de comunicación y abastecimiento de agua potable. En este artículo se plantea
una solución a corto plazo al problema de bajo voltaje en redes de media tensión, con el ingreso óptimo
de equipos de regulación de voltaje por medio de un algoritmo genético en Matlab que evaluará los pa-
rámetros eléctricos de la red, antes y después de instalar los equipos de compensación, cumpliendo con
la regulación vigente Arconel 005/18 en el sector eléctrico ecuatoriano.
.
Las empresas distribuidoras de energía eléctrica hoy en
día, tienen el gran desafío de controlar y corregir los pa-
rámetros eléctricos del sistema de distribución, dado al
aumento anual de la demanda, provocado por el progre-
so humano y crecimiento económico del país [1]. Uno de
los objetivos principales de las empresas distribuidoras
de energía, es suministrar un servicio público de energía
eléctrica que satisfaga las necesidades del consumidor -
nal sin comprometer la calidad del servicio brindado, que
sea conable, seguro y adecuado, cumpliendo con los es-
tándares de calidad vigentes en las regulaciones [1][2] .
Sin embargo, los efectos indeseables que surgen durante
la operación normal del sistema eléctrico, como la caída
de tensión, se ven afectados por la longitud eléctrica de
la línea y las uctuaciones de las cargas, lo que provoca
grandes pérdidas económicas a los usuarios nales [3].
Para mitigar los problemas de voltaje hay que recongu-
rar la red realizando transferencias de carga a otra red o
reforzando el sistema de distribución con la instalación
de equipos como bancos de condensadores jos o con-
trolados, transformadores de potencia con cambiado-
res de taps () y reguladores automáticos de voltaje,
Recepción: 07/02/2022
Aceptación: 18/04/2022
Optimización, redes de distribución, ge-
nético diferencial, regulación de voltaje.
Optimization, distribution networks,
dierential genetics, voltage regulation.
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Carreño C., Avilés J.
considerando la ubicación de forma estratégica debido al
alto costo de inversión [4][5].
Si bien se han realizado esfuerzos para mejorar la ten-
sión mediante el balanceo de carga (reconguración de
red), instalación de bancos de condensadores y repoten-
ciación del alimentador de media tensión, todavía no es po-
sible cumplir con la regulación Arconel 005/18 en algunas
zonas del alimentador de media tensión «La Guayaquil»
correspondiente a la Corporación Nacional de Electrici-
dad regional Guayas-Los Ríos, el cual presenta problemas
de estabilidad de voltaje en el cantón Balzar, por contener
gran cantidad de estaciones de bombeo y piladoras [3][6].
El presente trabajo cientíco presenta un algoritmo
genético diferencial para mejorar la calidad de servicio
eléctrico de un alimentador de media tensión mediante
la instalación óptima de equipos de regulación de voltaje
y de compensación de reactivos a lo largo de la línea [7].
El analista denirá la cantidad de equipos y la capacidad
de los equipos a instalar en la red, el modelo de optimiza-
ción planteado considerará en la evaluación de cada alter-
nativa la función objetivo, la cual es reducir la desviación
de voltaje del sistema.
revisión del estado del arte
En el artículo [8] para mitigar los problemas de bajo vol-
taje en la red de distribución y mantener los parámetros
eléctricos en los límites establecidos por los estándares
, colocan en operación varios bancos de capacitores
a lo largo de un alimentador para reducir la pérdida de
potencia. Sin embargo, si se dimensionan e instalan ade-
cuadamente a lo largo del alimentador, los capacitores se
pueden utilizar para mejorar el factor de potencia en la
subestación de distribución y regular el voltaje en el ali-
mentador, aumentando el margen de voltaje del sistema.
Normalmente, los capacitores se instalan en alimen-
tadores de distribución cuando el nivel de voltaje se redu-
ce en la barra principal de la subestación de distribución
en el periodo de demanda máxima. Los capacitores brin-
dan niveles de voltaje aceptables a los clientes en todo el
alimentador evitando la necesidad del ingreso de gene-
ración a la red en el periodo de máxima carga. La rela-
ción costo/benecio, dependerá de las características de
la carga del alimentador.
En [9] se propone emplear un método de optimiza-
ción basado en (algoritmo microgenético) y (ló-
gica difusa) para dimensionar, ubicar y operar los bancos
de capacitores en las redes de distribución. Para mejorar
la calidad de servicio eléctrico se toma en cuenta la pre-
cisión y tiempo de ejecución en la obtención de resulta-
dos óptimos por parte del algoritmo.
El algoritmo evalúa todos los nodos de la red inicial
para determinar qué barra es la adecuada para instalar
los bancos de capacitores con base en la función objetivo
(reducción de pérdidas), reduciendo el número de solu-
ciones viables. El algoritmo encuentra la solución
óptima evaluando y seleccionando cada cromosoma
dando como resultado el número, capacidad y tipo de
operación del capacitor.
En el artículo [7] se propone una metodología para
mejorar la calidad del servicio eléctrico en las redes de
distribución de tipo radial. Tomando en cuenta los equi-
pos de compensación y regulación de voltaje instalados,
se realiza un controlador neuronal para denir la ope-
ración de los bancos de capacitores y los taps de los re-
guladores de voltaje, para optimizar la red minimizando
las pérdidas de energía de todo el circuito de distribu-
ción bajo la condición de que los voltajes de las barras
se encuentren dentro de los límites estándares (+/- 5%
del nominal).
Los datos de entrada del algoritmo controlador son
las mediciones de , y/o en las barras, y la salida son
los estados de conmutación óptimos del capacitor y posi-
ciones de toma de reguladores de voltaje correspondien-
tes a un patrón de carga del sistema eléctrico.
El método presentado en [10] consiste en determinar
la ubicación óptima de los reguladores de voltaje en el sis-
tema, resolviendo un problema de optimización multiob-
jetivo que considera la minimización de las pérdidas de
potencia activa y la desviación de tensión en el periodo
de máxima demanda.
Para la optimización multiobjetivo se utiliza un algo-
ritmo microgenético, capaz de encontrar soluciones que
representen las mejores combinaciones posibles entre los
objetivos. Estas soluciones constituyen el llamado con-
junto óptimo de Pareto. La solución óptima de Pareto no
se puede mejorar en ningún objetivo sin empeorar otro.
Las soluciones no dominadas por ninguna otra for-
man el denominado frente de Pareto. El tomador de de-
cisiones (un ingeniero en nuestro caso) puede elegir
cualquiera de las soluciones del frente de Pareto según
criterios económicos o técnicos. Normalmente el fren-
te de Pareto se utiliza para ese propósito, ya que la repre-
sentación gráca de estas soluciones indica claramente el
tipo de compensaciones logradas.
El suministro de energía de media tensión se basará
en la optimización de enjambre del proyecto () para
reducir la potencia y la pérdida de energía, así como para
mejorar la distribución de voltaje en el sistema de distri-
bución de energía.
45
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
descripción del problema
Actualmente la línea de subtransmisión 5 está compues-
ta por cuatro diferentes calibres de conductor (477,
500, 366,8 y 266) dando como resultado
una longitud eléctrica total de 93 km desde la / Dos
Cerritos hasta la / Balzar, como se observa en la gura
1 (ver Figura 1). La línea de subtransmisión 5 energi-
za a 8 subestaciones de distribución con una capacidad
instalada total de 110 , presentando una demanda
máxima de 45 en el periodo de 13h00 a 15h00.
Debido al calibre, longitud y aumento de consumo de
reactivos en la 5, existe una caída de tensión signi-
cativa en la línea, provocando malestares a los usuarios
nales por bajo voltaje e incumpliendo con la regulación
de calidad 005/18. En la gura 2 se muestran los voltajes
de servicio a nivel de 69 k en demanda máxima a lo lar-
go de la línea de subtransmisión 5 (ver Figura 2). En la
tabla 1 se muestran los voltajes de servicio de cada subes-
tación de distribución en demanda máxima (ver Tabla 1).
En la tabla 2 se muestra el voltaje de servicio en ba-
rra principal a 13,8 k de cada subestación de distribu-
ción, vericando que los voltajes se encuentran fuera de la
banda de regulación permitida por la regulación Arconel
005/18 desde la / Daule norte hasta la / Balzar. Ade-
más, hay que recalcar que la posición de los taps de los
transformadores de potencia que conforman la 5 se en-
cuentran en posición 5 (máxima regulación) (ver Tabla 2).
Como consecuencia del bajo voltaje de servicio, sur-
gen múltiples reclamos por desconexiones abruptas, de-
bido a la actuación de las protecciones de bajo voltaje en
las industrias, y por no poder hacer uso de cocinas de in-
ducción en horas de máxima demanda.
Debido a los serios problemas presentados en este sis-
tema, se propone mejorar la red de distribución a corto
Tabla 1.
Voltaje - de servicio en alta tensión en las subestaciones en demanda máxima
Subestación KM KV A-B KV B-C KV C-A
Dos Cerritos 0 68,85 69,47 68,43
T Salitre 19,418 65,6 65,4 65
JBA 26,76 65,5 65,3 64,9
Daule Norte 36,98 63 62,8 62,4
América 49,431 61,9 61,8 61,3
Santa Lucía 51,141 60,9 60,8 60,3
Laurel 55,388 60,4 60,3 59,9
Palestina 62,698 59,8 59,6 59,2
Balzar 92,143 58,6 58,5 58,1
Figura 1.
Topología de la línea de subtransmisión 69 kV «L5».
Figura 2.
Perl de voltaje de la línea de subtransmisión de 69 kV «L5»
46
Carreño C., Avilés J.
Tabla 2.
Voltaje - de servicio en media tensión en las subestaciones en demanda máxima
Subestación KM KV A-B KV B-C KV C-A
JBA 26,76 13,3 13,3 13,3
Daule Norte 36,98 13,1 13,1 13,1
América 49,4 12,9 12,9 12,9
Santa Lucía 51,14 12,7 12,7 12,7
Laurel 55,38 12,6 12,6 12,6
Palestina 62,69 12,6 12,6 12,6
Balzar 92,1 13,1 13,1 13,1
plazo del alimentador de media tensión La Guayaquil de
la subestación de distribución 69/13,8 k Balzar, la cual
tiene una longitud total de 30 km de troncal con con-
guración radial. La misma está conformada con varios
calibres de conductor de aluminio desnudo con calibres
266, 8; 4/0; 1/0 y #2. El alimentador tiene un total
de 242,86 km de línea que entregan energía eléctrica a
3358 abonados del cantón Balzar.
En la gura 3 se observa la topología de la red del ali-
mentador La Guayaquil. El alimentador es un 20% urba
-
no y un 80% rural, tomando la carga de la vía El Empalme
(ver Figura 3).
La mayor concentración de carga en el alimentador
La Guayaquil se encuentra en la parte urbana del cantón
Balzar, y es de tipo residencial. La carga industrial se en-
cuentra a las afuera de Balzar, conformada por las esta-
ciones de bombeo y empresas empacadoras de alimentos,
como se observa en la gráca de densidad de carga de la
gura 4 (ver Figura 4).
En la gura 5 se muestra el perl de voltaje del ali-
mentador La Guayaquil en el periodo de demanda máxi-
ma. Se observa que el voltaje de servicio se encuentra por
debajo del límite inferior permitido por la regulación de
voltaje (ver Figura 5).
ii. método
formulación del problema de optimización
En este apartado se evidencia la formulación del problema de
optimización, el cual se puede dividir en dos subproblemas:
1.
Ubicación óptima de los reguladores de voltaje (transfor-
madores regulantes) y selección de posición de los taps.
2.
Ubicación óptima de capacitores y dimensionamiento.
A. UBICACIÓN ÓPTIMA DE LOS REGULADORES DE VOLTAJE Y
SELECCIÓN DE POSICIÓN DE LOS TAPS
El problema de ubicación óptima de un regulador de vol-
taje se dene en función de la reducción de las pérdidas
de potencia y la minimización de las desviaciones de vol-
taje. Ambos son esenciales para garantizar la calidad del
servicio eléctrico. Es importante señalar que la minimi-
zación de uno de estos objetivos implica directamente la
disminución del otro.
La determinación de la posición del tap de cada re-
gulador de voltaje es esencial para resolver el problema
de optimización. En este tipo de aplicación, el ajuste del
Figura 3.
Topología eléctrica del alimentador La Guayaquil
Figura 4.
Densidad de carga del alimentador La Guayaquil
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Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
tap mediante un desplazamiento sucesivo puede presentar
problemas de convergencia en el ujo de carga, por esta
razón se utiliza el algoritmo de Gauss-Seidel para evaluar
la red en cada paso del tap, el cual se encuentra como va-
riable de estado dentro de los cálculos del ujo de poten-
cia. Esto es más adecuado para el proceso de optimización
y conduce a un mejor rendimiento del algoritmo.
B. UBICACIÓN DE CAPACITORES EN LA RED Y DIMENSIONAMIENTO
En general, todos los problemas de localización óptima
de bancos de capacitores en una red de distribución bus-
can obtener la cantidad, tipo (jo o intercambiable) de
capacitores, localización y capacidad nominal, para me-
jorar una función objetivo que varía de autor a autor, con
el n de obtener el mayor benecio. El dimensionamien-
to se realizará con base en el perl de carga típico del
alimentador ingresando a la red reactivos para tener un
factor de potencia mayor o igual al 96%.
Función objetivo y restricciones
A. FUNCIÓN OBJETIVO: DESVIACIÓN DE VOLTAJE EN LAS BARRAS
Este objetivo intenta aplanar el perl de voltaje a lo lar-
go del alimentador, su expresión matemática se dene
como:
(1)
donde es el voltaje de desviación de la barra j con respec-
to al voltaje nominal y N es el número total de barras del
sistema de distribución [4].
B. RESTRICCIONES
En la ecuación (2) se muestra la restricción de voltaje
para cada barra del sistema de distribución, donde y son
valores límites en el periodo de máxima y mínima carga.
El valor máximo y mínimo que se puede presentar en la
barra es de 1,06 y 0,94 p.u.
(2)
El factor de potencia del alimentador debe cumplir con
lo establecido en la regulación Arconel 005/18, tanto en
máxima como en mínima demanda.
(3)
Las restricciones del ujo de potencia están representa-
das por las ecuaciones (4) y (5), donde (Pgi, Qgi) son las
salidas de generación activa y reactiva y (Pli, Qli) son las
salidas de generación activa y reactiva. [4]
Gij y Bij son la conductancia y la susceptancia de la
matriz de admitancia, respectivamente.
(4)
(5)
VI. FUNCIÓN OBJETIVO EN TÉRMINO DE LAS RESTRICCIONES
En el problema de optimización, las restricciones (4) y
(5) se pueden satisfacer al realizar el cálculo del ujo de
potencia [4] y las restricciones de desigualdad (2) y (3) se
pueden satisfacer penalizando la función objetivo f1(c).
Finalmente, el problema de optimización con restriccio-
nes puede ser reformulado como:
(6)
donde y son factores de penalización:
(7)
(8)
La ecuación (7) es una función de penalización que se
aplica cuando las magnitudes de voltaje están fuera de
los límites permitidos. La ecuación (8) es una función de
penalización que se aplica cuando el factor de potencia
está fuera de los límites permitidos.
regulación de calidad del servicio eléc-
trico en Ecuador
Una de las obligaciones de las empresas distribuidoras
de energía eléctrica es cumplir que el voltaje de servicio
se encuentre dentro de los límites estipulados en la Reso-
lución .o Arconel 053/18 del Reglamento 005/18 «Ser-
vicios de comercialización y distribución de energía de
calidad»; cuando se realice una evaluación de la calidad
de la prestación del servicio eléctrico, teniendo en cuenta
los siguientes criterios (Conelec, 2018):
48
Carreño C., Avilés J.
1. INDICADOR DE CALIDAD DEL SERVICIO COMERCIAL
En el presente estudio, nos enfocaremos en el nivel de
voltaje, correspondiente al ítem «Calidad del produc-
to» [6]. El índice de la calidad de nivel de voltaje en un
punto del sistema de distribución, según la regulación
del Arconel, se determina con la siguiente fórmula [6]:
(9)
Donde:
=
Cambio del voltaje de suministro en com-
paración al voltaje nominal en el punto .
=
Tensión de suministro en el punto , de-
nido como el valor medio de las medidas
registradas.
=Tensión nominal en el punto .
La normativa también establece los rangos de voltaje
permitidos según el nivel de tensión como se muestra en
la tabla 3 (ver Tabla 3).
Flujo de potencia (Gauss-Seidel)
El algoritmo de Gauss-Seidel es un procedimiento itera-
tivo que pretende encontrar una solución al sistema de
ecuaciones lineales estando dentro del límite de error.
Éste es un método robusto y conable que proporciona
convergencia para sistemas eléctricos complejos. Debido
a las numerosas iteraciones del método Gauss-Seidel, la
convergencia es lenta y directamente proporcional al fac-
tor de aceleración.
El método de Gauss-Seidel toma valores calculados en
la primera iteración para calcular el valor de una incógni-
ta en la misma iteración. Los resultados son tomados en
cuenta para la siguiente iteración, lo cual reduce signi-
cativamente el número de iteraciones para lograr la con-
vergencia del ujo de carga [11].
Con la matriz admitancia de barra y aplicando la ley
de Kircho se obtiene la ecuación (10).
(10)
Reordenando la ecuación (10) se obtiene la ecuación (11).
(11)
Con la potencia aparente en complejo, reemplazando en
(11) se obtiene la ecuación (12).
(12)
Debido a que el metodo de Gauss-Seidel es iterativo, se
obtiene la ecuación (13).
(13)
La matriz de admitancia () depende de las impedancias
de las líneas conectadas en las barras de la red eléctrica.
En un alimentador de media tensión tipo radial encon-
traremos dos tipos de barras las cuales son:
Barra oscilante: Es la barra fuente tomada como refe-
rencia, de la cual solo se especica la magnitud y ángulo
del voltaje. La planta de energía correspondiente a la dis-
tribución de voltaje en el sistema de control genera una
carga que no es energizada por el resto de las barras más
pérdidas en el sistema de energía.
Barra de carga: Es la barra donde se encuentra las car-
gas de la red, especicando la potencia activa y reactiva.
La programación del código en Matlab se resume en
el diagrama de ujo de la gura 6. En nuestro caso de es-
tudio se realizaron concentraciones de cargas para lograr
conformar una red de 50 barras y ejecutar el algoritmo de
Gauss-Seidel (ver Figura 6).
equipos de regulación de voltaje y com-
pensación de reactivos
A. REGULADORES DE VOLTAJE
Los reguladores de voltaje funcionan para mantener los
niveles de voltaje dentro de límites jados por programa-
ción, para mejorar la calidad del suministro de energía y
son compatibles con los sistemas de distribución automá-
tica. Los reguladores de voltaje son autotransformadores
reguladores, capaces de regular el voltaje nominal en un
+/- 10% en 32 etapas de aproximadamente (5/8%) por
cada paso o cambio de 0,75 voltios en una base de 120 .
En la gura 7 se muestra el circuito de fuerza del re-
gulador de voltaje típico, el cambio está controlado por un
circuito de control exterior [12](ver Figura 7).
La instalación óptima de un regulador de voltaje en la
red de distribución aumenta signicativamente el voltaje
de salida, [13] regulando aguas abajo del regulador como
se observa en la gura 8 (ver Figura 8).
Adicionalmente, el regulador ayuda a cumplir con las
exigencias de calidad de servicio eléctrico ante eventos
transitorios que pueden presentarse en la red de distri-
bución, disminuyendo los picos de voltaje. En la gura 9,
como caso demostrativo, se muestra la mejora de la onda
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Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
de voltaje (rojo) de una barra cuando entra en operación
un regulador de voltaje ante una perturbación externa de
la red que altera la onda de voltaje de entrada al equipo
(verde) (ver Figura 9).
B. CAPACITORES
Las cargas conectadas a lo largo de una red de distribu-
ción consumen potencia reactiva, generando pérdidas
en el sistema eléctrico y caídas de voltajes. Para mejorar
el factor de potencia las empresas distribuidoras penali-
zan a los usuarios que incumplan con el mínimo factor
de potencia (92%) obligándolos a disminuir reactivos e
instalando bancos de capacitores en las redes de media
tensión para suplir los reactivos de las líneas y transfor-
madores de distribución.
Mediante a ubicación óptima de los bancos de capa-
citores en la red se logra la compensación de reactivos de
la manera más eciente para aumentar el factor de poten-
cia, manteniendo los mínimos establecidos por la Arco-
nel. En la gura 10 se observa el resultado de corregir el
factor de potencia en la red. La disminución de la poten-
cia reactiva reduce el ángulo entre el voltaje y la corriente
aumentando la eciencia eléctrica de un sistema de dis-
tribución (ver Figura 10).
Capacitores jos: Los capacitores jos están conectados
de manera permanente en la red, inyectando reactivos con
base en su capacidad nominal. Se pueden agrupar y formar
bancos trifásicos, lo cual signica bajos costos por ins-
talado. Los capacitores de tipo jos deben ser instalados con
base en la demanda mínima del sistema, para no tener pro-
blemas de alto voltaje en la línea. En la gura 12 se muestra
un perl de voltaje con la implementación de un banco de
capacitores en la red de distribución (ver Figuras 11 y 12).
Capacitores desconectables: Los capacitores desconecta-
bles pueden ser congurados para operar por factor de
Figura 6.
Diagrama de ujo del método de Gauss-Seidel
Figura 7. Diagrama de fuerza del regulador de voltaje
Figura 8.
Perl de voltaje del circuito de media tensión después de la apli-
cación de reguladores
50
Carreño C., Avilés J.
potencia, voltaje, corriente y potencia reactiva. Estos
equipos pueden inyectar reactivos a la red de distribu-
ción de acuerdo a la variación de carga presentada to-
mando en cuenta los parámetros de la red. En la gura
13 se muestra un perl de carga e ingreso de los bancos
de capacitores con base en la necesidad de la red eléctrica
[14] (ver Figura 13).
algoritmo genético
Los algoritmos genéticos son estrategias estocásticas de
investigación basadas en la selección natural y que en al-
gunos casos incorporan aspectos de la genética natural,
simulando la evolución biológica como estrategia de re-
solución de problemas. A las posibles soluciones del pro-
blema de optimización se las denomina individuos, y cada
uno de ellos posee información característica que puede
ser representada con cromosomas [15]. Estos cromoso-
mas están formados por una serie de datos que en muchos
casos se representan mediante números binarios.
Las estrategias evolutivas resuelven problemas evolu-
cionando cada uno de los individuos a través de genera-
ciones. En la población, cada individuo se distingue según
el valor de su don, que se obtiene con la ayuda de diver-
sas medidas, de acuerdo con el problema a resolver. Para
obtener generaciones futuras, se producen nuevos indivi-
duos, llamados descendientes, utilizando dos estrategias
Figura 9.
Comparación del perl de voltaje del circuito de media tensión
después de la aplicación de reguladores
Figura 10.
Corrección de factor de potencia con capacitores
Figura 11.
Banco de capacitores de media tensión
evolutivas básicas, como factores de cruza y mutación
(que a menudo se usan indistintamente). Los algoritmos
genéticos tienen los siguientes componentes [16]:
Selección: El proceso de selección escoge de entre la
población actual las alternativas que muestran el mayor
valor de eciencia para formar nuevos individuos y así
desarrollar sus características en el futuro y nuevos gru-
pos de población.
Cruza: Es el proceso de formación de nuevos indivi-
duos que imitan el apareamiento (el intercambio de genes
entre pares de individuos llamados padres con un valor de
aptitud muy alto), entre dos cromosomas de un organis-
mo. Implica tomar dos hebras de cromosomas o indivi-
duos e intercambiar genes. Es el operador más importante
del algoritmo genético y actúa como operador de mine-
ría, lo que signica que hibridiza individuos para obtener
mejores características.
Mutación: En algoritmos genéticos, este operador se
usa con menos frecuencia que el operador de cruza. Es un
operador exploratorio porque permite que el algoritmo ex-
plore en otras regiones, ayudándolo a salir recursivamente
de la región óptima. La mutación implica el cambio de cier-
tos valores de genes, seleccionados al azar, por individuos
obtenidos después de la cruza, por lo que, si el valor de un
gen especíco es uno, se cambiará a cero y viceversa [17].
Reemplazo: Ayuda a mantener el tamaño de la población,
los individuos tienen las mejores cualidades posibles en
todas las generaciones.
51
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
1. ALGORITMO GENÉTICO DIFERENCIAL
La evolución diferencial es una técnica metaheurística
basada en conjuntos de vectores numéricos. Las princi-
pales ventajas de este algoritmo son la simplicidad, la e-
ciencia, las características de búsqueda local y la veloci-
dad. El proceso mediante el cual se resuelve la evolución
diferencial de un problema de optimización se caracte-
riza por la iteración a través de un conjunto de vecto-
res para hacer que las soluciones candidatas crezcan de
acuerdo con una función adecuada. [18] En la gura 14
se muestra las principales operaciones que realiza el al-
goritmo diferencial para llegar a la mejor solución (ver
Figura 14).
1.1. Inicialización de la población
Las variables del problema a optimizar se codican como
vectores de números reales. La población consta de vec-
tores , donde g es la generación correspondiente. Cada
vector incluye las variables del problema , donde (m =
1... n).
(14)
p = 1…NP (15)
1.2. Mutación diferencial
Consiste en crear vectores mutados (llamados tam-
bién de perturbación) los cuales son creados a partir de 3
individuos elegidos al azar, 𝑥𝑎, 𝑥𝑏, 𝑥𝑐:
(16)
(17)
p = 1…NP (15)
1.3. Recombinación
Una vez que se obtienen los vectores de mutación, se rea-
liza una hibridación extensiva con los vectores origina-
les, dando como resultado los vectores de prueba , de la
siguiente manera:
(18)
1.4. Selección
Se hace simplemente comparando la idoneidad del vec-
tor original con el vector de prueba . El portador de la
próxima generación será el que tenga el mejor tness o
calidad:
(19)
Figura 12.
Perl de voltaje con capacitores en la red eléctrica
Figura 13.
Operación combinada de capacitores jos y desconectables se-
gún el perl de carga
52
Carreño C., Avilés J.
Explicación del algoritmo genético de-
sarrollado
1. UBICACIÓN ÓPTIMA DE REGULADORES DE VOLTAJE TRANS
FORMADORES REGULANTES
1.1. Para representar la ubicación de los reguladores, se
utilizará un vector de enteros, donde las primeras las
indican la posición de los transformadores regulantes y
las últimas las indican la posición de los taps (ver Figu-
ra 15).
Esta información se puede combinar con la informa-
ción del sistema. Por ejemplo, si se tiene un sistema de 4
barras como se muestra en la gura 16, la información
del vector proporcionado por el DE se puede combinar
de forma matricial con la información del sistema de la
siguiente manera (ver Figura 16):
(20)
1.2. Donde se vaya a ubicar un nuevo transformador re-
gulante el algoritmo tiene que incluir una nueva barra en
la red de distribución. A la matriz de datos se le agregará
una nueva barra por cada transformador regulante se-
gún la ubicación en el sistema de distribución. Por ejem-
plo, considerando la matriz (21) se ubicará un regulante
en la línea 1-2 y 2-3, expresando la nueva matriz como:
(21)
La nueva red resultante se puede observar en la gura 17
(ver Figura 17).
1.3. Construir la Ybus con la matriz de datos extendi-
da. La línea donde se ubican los regulantes se les asignara
una impedancia y admitancia de cero. La Ybus se cons-
truirá de forma convencional encontrando primero los
elementos de la diagonal principal, y luego los elementos
fuera de la diagonal.
1.4. Calcular el bloque de construcción para cada
transformador regulante:
(22)
Donde:
t: porcentaje de regulación del regulador.
Y: admitancia del regulador.
1.5. Sumar el bloque de construcción de cada regulador a la Ybus.
1.6. Con la nueva Ybus se procede a realizar un ujo de
potencia, para calcular los voltajes en las barras.
Figura 14.
Diagrama de ujo de las principales operaciones del algoritmo
diferencial
Figura 17.
Sistema eléctrico incluyendo los reguladores
Figura 15. Vector de enteros para reguladores
Figura 16. Sistema eléctrico de 4 barras
53
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
1.7. Con los voltajes de barra se procede a calcular la
desviación de voltaje del sistema.
1.8. Repetir el procedimiento para un nuevo vector
entregado por el algoritmo genético diferencial.
2. UBICACIÓN ÓPTIMA DE BANCOS DE CAPACITORES
2.1. Para representar la ubicación de los capacitores, se
utilizará un vector de enteros, donde las primeras las
indican la posición de los bancos de capacitores y las úl-
timas las indican el número de bancos (ver Figura 18).
Por ejemplo, si se tiene un sistema de 4 barras como
se muestra en la gura 16, la información del vector pro-
porcionado por el se puede combinar de formar matri-
cial con la información del sistema de la siguiente manera:
(23)
Donde los nuevos capacitores serán ubicados en las ba-
rras 2 y 4 como se muestra en la gura 19 (ver Figura 19).
2.2. Con la información presentada en (23) se pro-
cederá a construir la Ybus de forma convencional, encon-
trando primero los elementos de la diagonal principal, y
luego los elementos fuera de la diagonal.
2.3. El siguiente paso es calcular la susceptancia del
banco, según la capacidad y voltaje nominal.
(24)
2.4. Sumar la admitancia de cada capacitor a la Ybus.
Ybarra=Ybarra i,i+Yci (25)
2.5. Con la nueva Ybus se procede a realizar un ujo de
potencia, para calcular los voltajes en las barras.
2.6. Con los voltajes de barra se procede a calcular la
desviación de voltaje del sistema y el factor de potencia
del sistema.
(26)
2.7. Repetir el procedimiento para un nuevo vector en-
tregado por el algoritmo genético diferencial.
En la gura 20, se muestra la operación del algoritmo
diferencial con un diagrama de ujo tanto para la ubi-
cación de los reguladores como de los capacitores (ver
Figura 20). Inicialmente se dene una población inicial
al azar, donde el algoritmo evaluará cada individuo y cal-
culará su tness por medio de Gauss-Seidel. A partir de
la segunda iteración el vector comienza a mutar con base
en los mejores resultados obtenidos, luego de eso se rea-
liza una recombinación y, por último, se seleccionan los
candidatos que cumplan con las restricciones.
iii. resultados
La gura 21 ilustra el sistema de distribución del alimentador
de media tensión La Guayaquil representado en 50 barras,
49 líneas y 30 cargas concentradas para mejor apreciación
del sistema. La longitud total de la troncal es de 30 km y su
conguración es radial. Está conformada con varios calibres
de conductor de aluminio desnudo a lo largo de la línea, los
cuales son 266, 8; 4/0; 1/0 y #2 (ver Figura 21).
En condiciones iniciales del alimentador La Guayaquil
opera a un voltaje de 13.200 en barra de la subestación Bal-
zar, tiene una desviación de voltaje inicial de 6,2249 y presen-
ta una demanda máxima de 3,3 y 1,5 . Debido a la
longitud y calibre del conductor, el 98% de las barras se en-
cuentran por debajo del voltaje permitido por la regulación
-5% del voltaje nominal, provocando reclamos de mala ca-
lidad por los usuarios nales. Debido a la potencia reacti-
va consumida por la carga industrial, el alimentador tiene
un factor de potencia de 89% en demanda máxima. El có-
digo propuesto para el algoritmo de optimización se realizó
en Matlab, y los resultados fueron comprobados mediante el
soware Etap.
Figura 18.
Vector de enteros para capacitores
Figura 19.
Sistema eléctrico incluyendo los capacitores
54
Carreño C., Avilés J.
Para el ingreso de los reguladores de voltaje y de los ca-
pacitores a la red, se evaluarán 5 escenarios, consideran-
do una población inicial de 30 individuos y restricciones
de voltaje en barra de y factor de potencia mayor a 96%.
A continuación, se detallarán los resultados para cada
uno de los escenarios.
E : -
.
En la tabla 4 se muestra el resultado óptimo del algorit-
mo diferencial para la instalación de dos bancos regula-
dores de tensión. Con la inserción de estos bancos, en las
barras 6 y 20, solo el 24% de las barras no cumplen con
el límite mínimo de voltaje y la desviación de voltaje del
alimentador disminuye un 90,77% respecto al sistema
original (ver Tabla 4).
En la gura 22 se muestra la mejora del voltaje en las
barras del sistema de distribución con el ingreso de 2 ban-
cos reguladores de voltaje. El mínimo voltaje presentado
en la red es de 12,7 k (ver Figura 22).
E : I -
.
En la tabla 5 se muestra el resultado óptimo del algo-
ritmo diferencial para la instalación de tres bancos re-
guladores en la red. Con la ubicación de los tres bancos
(barras 2, 6 y 12) solo el 12% de las barras no cumplen
con el límite mínimo de voltaje y la desviación de voltaje
del alimentador disminuye un 93,43% respecto al caso
original (ver Tabla 5).
En la gura 23 se muestra la mejora del voltaje en las
barras del sistema de distribución para este caso. El mí-
nimo voltaje presentado en la red es de 12,7 kV (ver Fi-
gura 23).
E : I -
.
En la tabla 6 se muestra el resultado óptimo del algorit-
mo diferencial para la instalación de dos bancos de ca-
pacitores en la red (ver Tabla 6). Con la operación de los
dos bancos de capacitores el factor de potencia aumenta
Figura 20.
Algoritmo propuesto para la ubicación óptima de reguladores o
capacitores
Figura 21.
Condiciones iniciales del alimentador La Guayaquil conforma-
do por 50 barras
55
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
Tabla 4.
Ubicación y selección óptima del tap de los dos reguladores de voltaje
Regulador Barra Selección del tap Desviación de voltaje
1 6 2 0,5284
2 20 15
Tabla 5.
Ubicación y selección optima del tap de los tres reguladores de voltaje
ReguladorBarra Selección del tap Desviación de voltaje
1 2 12
0,4092 6 13
3 12 2
en un 8,9% y el voltaje aumentó un promedio de 7,7 %.
El 98% de las barras no cumplen con el límite mínimo de
voltaje y la desviación de voltaje del alimentador dismi-
nuyó un 36,7%.
En la gura 24 se muestra la mejora del perl de vol
-
taje en las barras del sistema de distribución, con el in-
greso de 2 bancos de capacitores (ver Figura 24). Se debe
notar que aun así no se cumple con la regulación de vol-
taje. El mínimo voltaje presentado en la red es de 11,8 k.
E : I -
.
En la tabla 7 se muestra el resultado óptimo del algorit-
mo diferencial para la instalación de tres bancos de ca-
pacitores en la red. Con la operación de los tres bancos
de capacitores el factor de potencia aumenta un 11% y el
voltaje de las barras también aumentó un 5% en prome-
dio. El 98% de las barras aun no cumplen con el límite
mínimo de voltaje, pero la desviación de voltaje del ali-
mentador disminuyó un 56,7% (ver Tabla 7).
En la gura 25 se muestra la mejora del voltaje en las
barras del sistema de distribución con el ingreso de los 3
bancos de capacitores, pero aun así no se cumple con la
regulación de voltaje. El mínimo voltaje presentado en la
red es de 12,23 kV (ver Figura 25).
E : I -
.
El escenario 5 combinará el ingreso de dos bancos de
capacitores y tres bancos de reguladores. De la optimi-
zación del escenario 3 se obtendrán las susceptancias de
los bancos de capacitores, para luego sumar en las barras
correspondientes las susceptancias en la diagonal de la
Ybarra del sistema original. La nueva matriz de admitan-
cias se ingresará como dato en el algoritmo de optimiza-
ción de los transformadores regulantes, para obtener un
nuevo resultado combinado.
En la tabla 8 se muestra el resultado obtenido por el al-
goritmo diferencial, para la instalación de dos bancos de
capacitores y tres bancos reguladores de voltaje en la red
Figura 22.
Perl de voltajes de barra con el ingreso de dos bancos de reguladores
Figura 23.
Perl de voltajes de barra con el ingreso de 3 bancos de reguladores
56
Carreño C., Avilés J.
(ver Tabla 8). El 10% de las barras no cumplen con el
límite mínimo de voltaje y la desviación de voltaje en las
barras del alimentador disminuye un 94%.
En la gura 26 se muestra la mejora del voltaje en las ba-
rras del sistema de distribución con el ingreso de 2 ban-
cos de capacitores y 3 bancos de reguladores de voltaje.
El mínimo voltaje presentado en la red es de 12,28 k
(ver Figura 26).
Finalmente, la gura 27 muestra la simulación del sis-
tema considerando únicamente los tres transformadores
regulantes. La gura 28 muestra la simulación del sistema
considerando únicamente los dos capacitores, y la gura
29 muestra la solución más factible, que es la combina-
ción de los tres bancos reguladores de voltaje y dos ban-
cos de capacitores (ver Figuras 27, 28 y 29).
Comparación de resultados
En la gura 30 se muestra un diagrama tipo barra para resu-
mir los resultados en cada escenario con base en la función
objetivo planteada desde el comienzo del estudio (ver Figura
30). En condiciones iniciales en el periodo que se presen-
ta la demanda máxima del alimentador de distribución La
Tabla 6.
Ubicación de los dos bancos de capacitores
CapacitorBarra Factor de potencia en la red Desviación de voltaje
1 19 97% 3,966
2 20
Tabla 7.
Ubicación de los tres bancos de capacitores
Capacitor Barra Factor de potencia en la red Desviación de voltaje
1 19
99% 2,71312 20
3 29
Tabla 8.
Ubicación de dos bancos de capacitores y tres bancos de reguladores
Capacitor Barra # Bancos Factor de potencia en la red Desviación de voltaje
1 19 1
97% 0,3879
2 20 1
Regulador Barra Tap
1 2 12
2 5 10
3 13 15
Figura 24.
Perl de voltajes de barra con el ingreso de 2 bancos de capacitores
Figura 25.
Perl de voltajes de barra con el ingreso de 3 bancos de capacitores
57
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
Figura 26.
Perl de voltajes de barra con el ingreso de 2 bancos de capacito-
res y 3 bancos de reguladores de voltaje
Figura 27.
Resultados del ujo de carga con la operación de tres regulado-
res de voltaje
Figura 28.
Resultados del ujo de carga con la operación de dos bancos de
capacitores
Guayaquil, se tiene una caída de voltaje signicativa, dando
como resultado una afectación al 97% de los abonados, entre
residenciales, comerciales e industriales. Como resultado de
la simulación, 49 barras no cumplen con el voltaje mínimo
requerido y presenta una desviación de voltaje de 6,2249.
Con el ingreso de los 2 bancos reguladores de voltaje
a la red, se puede apreciar que, de las 50 barras del sis-
tema eléctrico solo 12 incumplen con la regulación de
voltaje Arconel 005/18, teniendo una mejora del 74%
en base a la condición inicial. Además, la desviación de
58
Carreño C., Avilés J.
Figura 29.
Resultados del ujo de carga con la operación combinada de dos bancos de capacitores y tres bancos reguladores de voltaje
Figura 30.
Análisis comparativo de los cinco escenarios
voltaje del alimentador disminuye un 90,77% respecto
al sistema original.
Con el ingreso de los 3 bancos de reguladores de vol-
taje a la red, se puede apreciar que, de las 50 barras del
sistema eléctrico solo 6 incumplen con la regulación de
voltaje Arconel 005/18, teniendo una mejora del 86% con
base en la condición inicial y la desviación de voltaje del
alimentador disminuye un 93,43%.
Con el ingreso de los bancos de capacitores se puede
apreciar que no son de mucha ayuda en la mejora del
voltaje de las barras, tanto con el ingreso de 2 o 3 ban-
cos de capacitores con capacidad de 150 por ban-
co. La desviación de voltaje tanto con dos y tres bancos
de capacitores disminuye un 36,7% y 56,7% respecto al
sistema inicial.
Con el ingreso de los 3 bancos de reguladores de vol-
taje y 2 bancos de capacitores a la red, se puede apreciar
que de las 50 barras del sistema eléctrico solo 5 incumplen
con la regulación de voltaje Arconel 005/18, teniendo una
mejora del 88%, basado en la condición inicial. La desvia-
ción de voltaje del alimentador disminuye un 94% respec-
to al sistema original.
iv. conclusiones
En este artículo se realiza un algoritmo genético diferen-
cial para determinar la ubicación optima de los bancos
de reguladores y bancos de capacitores para un sistema
conformado por 50 barras con conguración radial y
carga equilibrada.
La efectividad del algoritmo diferencial fue demostra-
do y probado mediante el soware . Dentro de las so-
luciones obtenidas se comprueba el cumplimiento de la
función objetivo, la cual era minimizar la desviación de
voltaje del alimentador.
59
Localización óptima de equipos de regulación de voltaje y compensación de reactivos para alimentadores de medio voltaje, mediante algoritmos evolutivos
La mejor solución para optimizar el voltaje en el alimen-
tador de media tensión La Guayaquil es instalar 3 ban-
cos de reguladores de voltaje en la red e instalarlo en las
líneas 2-3, 4-5, 12-13 con los taps en las posiciones 12,
10 y 15.
Para mejorar el factor de potencia se debe instalar dos
bancos de capacitores en las barras 19 y 20 llegando a te-
ner un factor de potencia de 97%; no se sugiere instalar
los tres bancos de capacitores, dado que está próximo a
sobrecompensar de reactivos el alimentador.
La desviación de voltaje disminuyó un 94% con res-
pecto a la desviación de voltaje inicial, con la operación
combinada de los 3 bancos de reguladores y 2 bancos de
capacitores de 150 .
referencias
[1] D. Cárdenas, C. Chávez y L. Quinteros, Estabilidad de volta-
je en redes de distribución eléctrica monofásicas de medio
voltaje, aplicando reguladores quick drive tap en esta-
do estable, Revista Ingenio, vol. 4, .
o
1, jun. 2021, doi:
10.29166/ingenio.v4i1.3067.
[2] F. V. Lima, S. F. Pinto y J. F. Silva, «Power electronics volt
-
age regulators for distribution transformers», en 4th In-
ternational Conference on Power Engineering, Energy
and Electrical Drives, may 2013, pp. 1362-1367. doi:
10.1109/PowerEng.2013.6635812.
[3] N. Wight, S. Alahakoon, and P. Pledger, «Voltage drop
and unbalance compensation in long distance medi-
um voltage distribution lines a feasibility study», 2015
10th International Conference on Industrial and
Information Systems (), 2015, doi: 10.1109/ICI-
INFS.2015.7398976.
[4] J. P. Avilés, J. C. Mayo-Maldonado, y O. Micheloud, «A
multi-objective evolutionary approach for planning and
optimal condition restoration of secondary distribution
networks», Applied So Computing, vol. 90, p. 106182,
may 2020, doi: 10.1016/j.asoc.2020.106182.
[5] P. Alcaria, S. F. Pinto y J. F. Silva, «Active voltage regulators
for low voltage distribution grids: e matrix convert-
er solution», en 4th International Conference on Power
Engineering, Energy and Electrical Drives, may 2013,
pp. 989-994. doi: 10.1109/PowerEng.2013.6635745.
[6] «Regulacion-de-Calidad-Suscrita.pdf». Accedido: 20 de
enero de 2022. [En línea]. Disponible en: https://www.
regulacionelectrica.gob.ec/wp-content/uploads/down-
loads/2019/01/Regulacion-de-Calidad-Suscrita.pdf
[7] J. E. Mendoza, D. A. Morales, R. A. López, E. A. López, J.-C.
Vannier, y C. A. Coello Coello, «Multiobjective location
of automatic voltage regulators in a radial distribution
network using a micro genetic algorithm», Trans-
actions on Power Systems, vol. 22, .
o
1, pp. 404-412, feb.
2007, doi: 10.1109/TPWRS.2006.887963.
[8] R. T. Bhimarasetti y A. Kumar, «Capacitor placement in
unbalanced radial distribution system for loss re-
duction», en 2015 2nd International Conference
on Recent Advances in Engineering Computation-
al Sciences (), dic. 2015, pp. 1-5. doi: 10.1109/
RAECS.2015.7453320.
[9] H. E. Z. Farag y E. F. El-Saadany, «Optimum shunt capaci-
tor placement in multimicrogrid systems with consider-
ation of islanded mode of operation», Transactions
on Sustainable Energy, vol. 6, .
o
4, pp. 1435-1446, oct.
2015, doi: 10.1109/TSTE.2015.2442832.
[10] C. W. Taylor, «Line drop compensation, high side volt-
age control, secondary voltage control-why not control
a generator like a static VAr compensator?», en 2000
Power Engineering Society Summer Meeting (Cat.
No.00CH37134), jul. 2000, vol. 1, pp. 307-310 doi:
10.1109/PESS.2000.867601.
[11] G. M. Gilbert, D. E. Bouchard y A. Y. Chikhani, «A compar-
ison of load ow analysis using DistFlow, Gauss-Seidel,
and optimal load ow algorithms», en Conference Pro-
ceedings. Canadian Conference on Electrical and
Computer Engineering (Cat. No.98TH8341), may 1998,
vol. 2, pp. 850-853 doi: 10.1109/CCECE.1998.685631.
[12] A. Kumar, S. Grijalva, J. Deboever, J. Peppanen, y M.
Rylander, «Mathematical representation of voltage
regulation impact on distribution feeder voltages»,
en 2019 46th Photovoltaic Specialists Confer-
ence (), jun. 2019, vol. 2, pp. 1-5. doi: 10.1109/
PVSC40753.2019.9198970.
[13] M. E. Elkhatib, R. El Shatshat, y M. M. A. Salama, «Optimal
control of voltage regulators for multiple feeders»,
Transactions on Power Delivery, vol. 25, .o 4, pp. 2670-
2675, oct. 2010, doi: 10.1109/TPWRD.2009.2033073.
[14] R. E. Rinker y D. L. Rembert, «Using the reactive current
prole of a feeder to determine optimal capacitor place-
ment», Transactions on Power Delivery, vol. 3, .
o
1,
pp. 411-416, ene. 1988, doi: 10.1109/61.4272.
[15] J. Velásquez y J. Villota, Aplicación del algoritmo genéti-
co no dominado - para la aceleración de proyec-
tos de construcción a través de la solución del problema
de compensación discreta tiempo-costo () en una
obra civil del valle del Cauca, tesis, Universidad del Va-
lle, Colombia, p. 60, 2019.
[16] J. T. Jiménez, J. L. Guardado, N. G. Cabrera, J. R. Rodríguez
y F. Figueroa, «Transmission expansion planning sys-
tems using algorithm genetic with multi-objective cri-
terion», Latin America Transactions, vol. 15, .
o
3,
pp. 563-568, mar. 2017, doi: 10.1109/TLA.2017.7867609.
[17] W. Annicchiarico, «Optimización multiobjetivo-multidis-
ciplinario del diseño de estructuras usando colonias de
enjambres dinámicos». Rev. Fac. Ing. [online]. 2012,
vol. 27, .
o
4, pp. 51-64. http://ve.scielo.org/scielo.php?s-
cript=sci_arttext&pid=S0798-40652012000400007 (ac-
cedido 20 de enero de 2022).
[18] A. M. Andaluz, Algoritmos evolutivos y algoritmos genéti-
cos, Universidad Carlos de Madrid, p. 14.
