REVISTA INGENIO
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación
Tipo Dipolos
Julio Galárraga Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE, Sangolquí-Ecuador, jcgalarraga1@espe.edu.ec
Guillermo Albuja Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE, Sangolquí-Ecuador, gaalbuja@espe.edu.ec
https://doi.org/10.29166/ingenio.v7i2.6663 pISSN 2588-0829
2024 Universidad Central del Ecuador eISSN 2697-3243
CC BY-NC 4.0 —Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 4.0 Internacional vicedecanat.ng@uce.edu.ec
, (), -, . -
En el presente trabajo se comparte la investigación realizada sobre la modelación y simu-
lación de arreglos lineales de dipolos. Se llega a una modelación generalizada, basándose en
los modelos desarrollados a partir de la integral de Pocklington aplicada a arreglos Yagi Uda.
Partiendo de los modelos encontrados, se los simula usando el Método de los Momentos,
generalizándose lo previamente desarrollado para arreglos Yagi Uda y se comparan sus re-
sultados con patrones obtenidos mediante el simulador libre MMANA GAL y con los dados
por los fabricantes de antenas. Se obtienen una excelente coincidencia tanto para los patrones
de dipolos simples como para los arreglos tipo Yagi Uda, pero poca coincidencia para los
patrones de radiación para arreglos tipo Log Periódico.
This work shares the research carried out on the modeling and simulation of linear dipole ar-
rays. A generalized modeling is achieved, based on the models developed from the Pockling-
ton integral applied to Yagi Uda arrays. Starting from the models found, they are simulated
using the Method of Moments, generalizing what was previously developed for Yagi Uda
arrays and their results are compared with patterns obtained through the free MMANA GAL
simulator and with those given by the antenna manufacturers. An excellent match is obtained
for both the simple dipole patterns and the Yagi Uda type arrays, but poor agreement is ob-
tained for the radiation patterns for the Log Periodic type arrays.
historia del artículo
Recepción: 01/03/2024
Recibido tras revisión: 30/04/2024
Aprobación: 01/05/2024
Publicación: 15/06/2024
palabras clave
Simulación matemática, sistemas de ra-
diación tipo dipolos, patrones de radia-
ción, simulación con Matlab.
key words
Mathematics simulation, dipole type ra-
diation systems, radiation patterns, Mat-
lab simulation.
Para la modelación se usó los desarrollos
ampliamente aceptados presentados por Balanis
en su texto [2], mientras que para su simulación se
optó por el Método de los Momentos, a partir de
programas libres que usan este mismo proceso para
obtener los diagramas de radiación y características
de todo tipo de antenas y sistemas radiantes,
resultados con los que se compararon los obtenidos
mediante los programas desarrollados durante la
investigación.
La importancia de contar con modelación y
simulación de sistemas radiantes para el desarrollo
de las competencias de profesionales relacionados
al área de telecomunicaciones queda de maniesto
en trabajos como los realizados por [5] y [6], en
[5] hacen uso del software propietario CST Studio
y en [6] declaran las líneas de investigación que
1. INTRODUCCIÓN
Lograr las mejores conguraciones de sistemas
radiantes para cubrir zonas de sombra es una tarea
a la que se enfrentan comúnmente los diseñadores
y planicadores de coberturas de los servicios de
radiodifusión.
La modelación y simulación matemática es un
campo abierto para su optimización; por lo que
su utilización para los sistemas radiantes no es
una salvedad, en particular de aquellos que son de
uso más extendido en la radiodifusión: arreglos
de sistemas radiantes que usan como radiador
elemental: el dipolo, siendo los sistemas radiantes
más comunes: los arreglos Yagi – Uda y los log
periódicos.
75
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación Tipo Dipolos
2.1 Modelación de los patrones de sistemas de
radiación tipo dipolos
Se usan los modelos dados por Balanis para obtener
las expresiones de los patrones de sistemas de
radiación tipo dipolos. Se va de lo sencillo a lo
complejo, del dipolo elemental, del dipolo de λ/2,
donde λ es la longitud de onda de la frecuencia
fundamental (ν) de resonancia del sistema radiante,
que cumplen: C = λ . ν; donde C es la velocidad
de la luz, velocidad a la que se mueven las ondas
electromagnéticas y de los posibles arreglos de
dipolos más usados: yagi uda y log periódico.
2.1.1 Modelación de los patrones de radiación
del dipolo elemental:
Son considerados dipolos elementales, los que
tienen una longitud de: h ≤ λ/50. Las expresiones
que determinan las magnitudes de los campos
radiados por este tipo de dipolo, vienen dadas por
[2]: ver pág. 159.
(2.1)
y
(2.2)
Siendo: r, distancia a la que es calculado el campo.
k, desface espacial.
I, corriente que circula en el dipolo
elemental.
h, longitud del dipolo elemental.
ω=2πν, frecuencia angular de la señal a ser
radiada.
e, Neper.
μ, permeabilidad magnética del medio.
Θ, ϕ, r coordenadas esféricas respecto del
centro del dipolo.
2.1.2 Modelación de los patrones de radiación
Para este tipo de dipolo, las magnitudes de los
campos radiados vienen dadas por las expresiones
[2]: ver pág. 172.
(2.3)
van a llevar adelante, en las que se incluyen las
relacionadas con el presente trabajo.
Para la simulación del comportamiento de las
antenas se hace uso del método de los momentos,
cuya utilización para éstos nes se encuentra
documentado en [7] y las comparaciones de los
resultados obtenidos se realizan haciendo uso de
MMANA-GAL, que se encuentra documentado su
uso para éstos nes en [8] y [9].
En el presente documento en la sección de materiales
y métodos se describe el proceso de modelación
y simulación de las antenas elementales y de los
sistemas radiantes que se construyen en base de
ellas, se presentan los algoritmos en base de los que
se desarrollaron los programas para su simulación;
en la sección de resultados y discusión se denieron
los criterios para establecer las comparaciones, y
sus resultados muestran una excelente coincidencia
entre los principales parámetros de los patrones de
radiación, tanto para dipolos simples como para
los arreglos tipo Yagi Uda, y escasa coincidencia
para los patrones de radiación de arreglos tipo Log
Periódico, por lo que en la sección de conclusiones
se consideran varias hipótesis para dar continuidad
a la modelación de este tipo de arreglos, en espera
de obtener mejores resultados.
2. MATERIALES Y MÉTODOS
Los procesos de modelación y simulación de
sistemas radiantes siguen los mismos criterios de los
procesos de modelación y simulación en ingeniería:
se parte de un modelo teórico que debe encontrarse
ampliamente sustentado y aceptado, modelo que
nos permite contar con funciones que representan
el fenómeno que se quiere estudiar y representar,
dicho modelo debe ser trabajado y modicado para
cumplir con los objetivos de su estudio, lograda
su adecuada representación, se compara con otros
resultados previamente encontrados para validar los
resultados obtenidos.
Dado que MMANA-GAL calcula sus diagramas de
radiación a la distancia de r = 1 Km, se los calcula
manteniendo éste mismo criterio con el n de poder
comparar los resultados, se trabaja con un voltaje
pico de V = 1V para el cálculo de los campos y
potencias de radiación.
76
Galárraga J. y Albuja G.
y
(2.4)
Siendo: r, distancia a la que es calculado el campo.
k, desface espacial.
I, corriente que circula en el dipolo.
h, longitud del dipolo.
η, impedancia característica del medio.
e, Neper.
Θ, ϕ, r coordenadas esféricas respecto del
centro del dipolo.
Ecuaciones y desarrollo que son válidos para dipolos
de longitud nita, que cumplen con: λ/10
≤ h ≤
3
λ
2.1.3 Modelación de los patrones de radiación de
los arreglos de dipolos
Los arreglos de dipolos más usados son los conocidos
como antenas Yagi − Uda y Log − Periódicos.
De las antenas Yagi − Uda:
WPara la modelación de su patrón de radiación
se estudió y corrigió el trabajo desarrollado por
[3], en base del artículo realizado por [10] y de
lo sistematizado por [2], en su texto; haciendo las
correcciones necesarias para llegar a plantear un
modelo generalizado del arreglo.
Para la modelación se hace uso de la siguiente
denición de los elementos y las variables que
intervienen:
Figura 1.
Parámetros y disposición de elementos en
sistema radiante y sistema de coordenadas
Tomado de [2], pág. 404
Figura 2.
Consideraciones para Método de
los Momentos en Yagi-Uda
Nota: Adaptado de [2], pág. 584
Haciendo uso del Método de los Momentos, en el que
a cada uno de los N elementos del sistema radiante
se le divide en M modos, se llega a las expresiones
de las magnitudes de los campos radiados por los
arreglos tipo Yagi-Uda, en las que se consideran las
interrelaciones que se presentan entre cada una de
las partes de cada uno de los elementos con cada una
de las partes de los otros elementos, obteniéndose
matrices de éstas interrelaciones, así:
77
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación Tipo Dipolos
Siendo:
n, el subíndice del elemento en estudio del
arreglo.
m, el subíndice del número de modo que se
está considerando del elemento en estudio.
Inm, corriente del elemento n en el modo m.
ln, longitud del elemento n.
ω=2πν, frecuencia angular de la señal a ser
radiada.
Є
o permitividad dieléctrica del vacío.
x,y,z son las coordenadas del elemento n en
el modo m.
x’,y’,z’ son las coordenadas del elemento
con respecto del que se quiera calcular su interacción
o coordenadas del punto del espacio al que se quiere
encontrar su radiación
Ezt campo eléctrico total en el punto z.
Como se tiene un solo elemento activo alimentado
centralmente, se usa:
(2.5)
Con lo que, se obtiene:
(2.6)
, donde:
En las que:
De las antenas Log − Periódicas:
e partió de la modelación realizada para las
antenas Yagi−Uda, haciendo generalizaciones,
considerando:
Figura 3.
Para N elementos isotrópicos. Representación fasorial de campos lejanos
Tomado de [2], pág.293
(2.7)
78
Galárraga J. y Albuja G.
Con base en lo previamente realizado para la antena
Yagi − Uda, se generaliza con el n de modelar las
antenas tipo Log – Periódicas, para n elementos
activos, voltajes de alimentación iguales o distintos,
tamaños de los elementos y longitudes de separación
entre los elementos, a elección.
Las generalizaciones modican las expresiones 2.6
y 2.7 que pueden ser calculadas mediante métodos
numéricos, al presentar sumatorios limitados de sus
términos.
Para realizar el cálculo del campo total que se
genera con el sistema radiante, se toma elemento
por elemento, considerando al elemento de análisis
como elemento activo que tiene elementos directores
los ubicados al frente de su dirección principal de
radiación y elementos reectores los ubicados tras
su dirección principal de radiación.
Se hace uso del teorema de superposición,
considerando tanto posible diversidad espacial
como posible diversidad fasorial de cada uno de
los elementos que componen el sistema radiante.
Tal como se muestra en la Figura 1, para elementos
isotrópicos y separados una misma distancia, por lo
que, de manera general, se obtiene:
(2.8)
Donde:
ET (r) = Campo eléctrico total generado por
todos los elementos activos del arreglo lineal de
dipolos.
Ei (r) = Campo eléctrico total generado por
el i-ésimo elemento activo del arreglo lineal de
dipolos.
En la expresión 2.8, para un φ jo, la magnitud de los
campos eléctricos vendrá dada por 2.6, multiplicada
por un factor que abarcará la diferencia de fase que
se puede tener en la alimentación a cada elemento
activo y la diferencia de fase por la diversidad
espacial. Para facilitar la modelación, se considera
al primer elemento del arreglo en y = 0, con lo que
la magnitud de los campos eléctricos obtenidos
punto a punto sería:
(2.9)
Donde:
di = Distancia desde y = 0 al i-ésimo
elemento activo del que se obtiene su campo.
βi = Variación de fase en la alimentación
del i-ésimo elemento activo del arreglo lineal de
dipolos del que se obtiene su campo.
Obteniéndose los parámetros considerando el
voltaje de entrada al primer elemento activo = 1 V y
en base de la geometría del arreglo; la alimentación
al resto de elementos activos se verá idealmente
afectados por el desfase producido por la distancia
al primer elemento activo, por lo que se usará:
y
di vendrá dado como múltiplo de λ, por lo que 2.8
quedaría:
, quedando
2.2 Simulación de los patrones de sistemas de
radiación tipo dipolos
Con base en los modelos previamente presentados,
se procede a desarrollar algoritmos cuyos programas
fueron implementados con MATLAB R2018a en
una laptop ACER i5-5200U de 2,2 GHz y con 6
GB de RAM para la simulación de los patrones de
sistemas de radiación tipo dipolos más usados:
2.2.1. Simulación de los patrones de radiación
del dipolo elemental
El algoritmo en base del que se elaboró el programa
con el que se obtuvo este patrón es:
ALGORITMO 1: Diagramas de radiación del
dipolo elemental.
INGRESE: f (f r e c u e n c i a c e n t r a l d e t r a b a j
o , e n MHz : ) ; r (d i s t a n c i a a la q u e s e
q u i e r e c a l c u l a r e l c a m p o , e n Km: ) ; n (F a
c t o r m u l t i p l i c a d o r de l a m b d a , d e b e s e r
m e n o r a 1 / 5 0 : ) ;
79
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación Tipo Dipolos
Calcula: la longitud de onda: l
a m b d a = lam =
3
0
0
/ f ; La longitud del dipolo elemental: L=
n
l
a
m ; La
constante de la onda: B =
2
p
i /
l
a
m ;
haciendo el lazo:
p
i ;
E =
a
b
s ( f
n / r
s i n ( t ) ) . ^ 2 ;
Fin Para
f i g u r a ( )
p o l a r ( t ,
E
)
2.2.2. Simulación de los patrones de
Se presenta el algoritmo con el que se realizó el programa
3
ALGORITMO 2: Diagramas de radiación del
dipolo de longitud nita.
INGRESE:
f
(f r e c u e n c i a c e n t r a l
d
e t r a b a j
o ,
e
n
MHz
: ) ; ;
r
(d i s t a n c i a a l a
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u
e
s
e q u i e r e c a l c u l a r e l campo ,
e
n Km: ) ;
n
(F
a c t o r m u l t i p l i c a d o r
d
e
l
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b
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a ,
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1
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1
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m
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n
o
r
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u
e 3 ,
g
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n
e
r
a
l
m
e
n
t
e n
= 0 . 5
: ) ;
Calcula: la longitud de onda: l
a m b d a= l a m=
3
0
0
/ f ; La longitud del dipolo: L=
n
l
a
m ; La constante de
la onda: B =
2
p
i /
l
a
m ;
haciendo el lazo:
p
i ;
E =
a
b
s ( 0 . 0 6 0 / r
(
c
o
s
(
B
L
/
2
c
o
s c
o
s
(
/ 2 ) ) . / s i n ( t ) ) . ^ 2 ;
Fin Para
f i g u r a ( )
p o l a r ( t ,
E
)
2.1.3 Simulación de los patrones de
radiación de los arreglos de dipolos
En los algoritmos que se basan para la realización
de los programas obtenidos para los arreglos de
dipolos más usados, se incluyen los datos que se
obtuvieron con el software libre MMANA-GAL,
con el objeto de realizar una comparación entre
los resultados obtenidos con esta herramienta y los
desarrollos realizados en la investigación.
Se presenta únicamente el algoritmo con el que se
modeló las antenas log periódicas, dado que es una
generalización del algoritmo con el que se modeló
las antenas Yagi − Uda:
ALGORITMO 3: Diagramas de radiación de
antenas Log − Periódicas
INGRESE: M (I n g r e s e e l
nú
m
e
r
o
d
e modos: )
; N ( I n g r e s e
n ú
m
e
r
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INGRESE: RESP
(
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N
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N
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(
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L
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n cantidad propor c i o n a l
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e l o n g i t u d e s
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n
d
a
= ) ;
Se asigna un vector de almacenamiento de las longitudes
de los elementos:
Le
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L
e
l
e
m
o
n
e
s
(
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,
N
) ;
entonces
(
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) ;
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a <= N
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INGRESE: b ;
Le ( a ) = b ;
a = a +
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;
Fin mientras
Fin si
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INGRESE: RESP
(
Y O
N
) ;
entonces
RESP ==
N
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Fin si
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(
RESP ==
Y
o y )
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u
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d
e l o n g i t u d e s
d
e
o
n
d
a )
e
s: )
o
n
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entonces RESP ==
N
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1
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a <=
(
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r o p o r c i o n a l
d
e l o n g i t u d e s
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e
o
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d
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)
= ,
a , a
+
1
) ;
INGRESE: b
D ( a ) = b ;
80
Galárraga J. y Albuja G.
a = a
+
1
;
Fin mientras
Fin si
INGRESE: b (
R
a
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o
d
e
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o
d
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s l o s
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l
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usado
s (
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n c a n t i
d
a d p r o p o r c i o n a l
d
e l o
n g i t u d e s
d
e
o
n
d
a
)
) ;
r a d i o = b ;
Se asigna un vector de almacenamiento de las
ubicaciones de los elementos:
YP= z
e
r
o
s
(
1
,
N
) ;
Imprimir
(
La
ubicació
n
de
l
prime
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dipol
o
e
n el
eje y(
e
n cantidad proporcional
d
e longitudes
d
e
ond
a)
vien
e
dado po
r:) ;
INGRESE: b
YP
( 1 )
=
b ;
Para
m desde
1
h a s t a
N
1
YP
(m+
1
)
=D
(m) +YP
(m) ;
Fin Para
si
(
N>
1
)
Imprimir
(¿Todo
s los
elemento
s t i e n e n e l
mismo v o l t a j e d e a l i
m e
n t a
c
i
ó
n?) ;
INGRESE: RESP:
(
Y o
N
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entonces
RESP = N ;
Fin si
INGRESE:
V
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u
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i
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a
d
o
e
n
y =
0
(
e
n v o l t i o s
)
= );
Se asigna un vector de almacenamiento de los voltajes
de alimentación:
Vf
=
z
e r
o
s
(
N
, 1 ) ;
momentos:
LM= z
e
r
o
s
(
N
,M) ;
f
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a
c
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f
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a
c
L
M =
f
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c
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Para
m desde
1
h a s t a M
LM
( :
,
m) =
f
r
a
c
L
M
(
Fin Para
Se realiza el cálculo de los elementos de las matrices
Anm= z
e
r
o
s
(M
N
,M
N
) ;
Para N1
desde
1
h a s t a N
Para M1
desde
1
h a s t a M
Para
N2
desde
1
h a s t a N
Para M2
desde
1
h a s t a M
si N1==N2
alph
a = radio ;
entonces
a
l
p
h
a
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0
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Fin si
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M+M2
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(N2
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N2
)
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Fin Para
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Fin Para
Fin Para
Se realiza el cálculo de la distribución de corriente sobre
cada elemento radiante en base de lo calculado con el
I
n
m
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l
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b = [
z
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o
s
(M
N
, 1 ) ] ;
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1
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1
) ] ;
si
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RESP ==
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o y )
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desde
1
h a s t a
N
s = [
z
e r
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s
(
1
,M
N
) ] ;
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1
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i / 2 ) ) ;
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M
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1
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0
0
) , n
) +
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m
, ( t h e t a
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1
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0
0
) , n )
)
+ SumEM ;
Fin Para
SumEN=
SumEM
AAA
Le(n
)+SumEN
Fin Para
Ethet
a
(
1,theta
+1)
=1i
(3
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)
(4
p
i
10^
7
)
/4
sin(theta
p
i
/1800
)
+YP
(n)
p
i / . 2 5 )
SumEN;
Inmglo
b =
I
n
m
g
l
o
b
+ Inm ;
Fin Para
81
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación Tipo Dipolos
t a b l a (
t h e t
a , 1 ) = t h e t a / 1 0 ;
t a b l a (
t h e t
a , 2 )
=E
( t h e t a ) ;
si (
AbsEthet
a(theta)/
MaxAbsThet
a) >
(10
6
)
E
t
h
e
t
a
D
B(theta) =
2
0
l
o
g
1
0 (
A
b
s
E
t
h
e
t
a ( t h e t a ) / M
a
x
A
b
s
T
h
e
t
a ) ;
entonces
Eth
e
t
a
D
B ( t h e t a )
=
120;
Fin si
Fin Para
l
e
n
g
= l e n g t h ( t a b l a );
C
á
lcul
o
de
l
anch
o
de
l
ha
z
d
e la
anten
a,
directividad
y
r
elación
delant
M
a
x
E
t
h
e
t
a
=max (
E
) ;
t o l
=
M
a
x
E
t
h
e
t
a / 1 0 0 ;
Para t h e t a
desde
1
h a s t a
3600
si
E
( t h e t a )
==
M
a
x
E
t
h
e
t
a
t h e t a d i r = t h e t a ;
si t h e t a d i r
1800
<0
RFB=10
log
1
0 (
a
b
s
(E
(thetadir) /
E
( t h e t a d i r
+
1
8
0
0
) ) ) ;
entonces
RFB=
1
0
l
o
g
1
0 (
a
b
s
(E
(thetadir) /
E
( t h e t a d i r
1
8
0
0
) ) ) ;
Fin si
Fin si
Fin Para
MaxEnmax=Enmax
(thetadir
/1800
p
i,
p
i/2)
P
i
s
o
= i n t e g r a l 2 (
@
E
n
e
r
g
i
a , 0,
p
i
,
0
,
2
p
i ,
M
e
t
h
o
d , i t e r a t e d , A
b
s
T
o
l
,
R
e
l
T
o
l
,
1
e
Di
r
p
i
/
a
b
s (
P
i
s
o ) ;
d i r e c t
=
1
0
l
o
g
1
0 (
D
i
r ) ;
Imprimir(La
gananci
a máxima
de
l arreglo lineal
d
e
antena
s
dipol
o
d
e d
elemento
s
e
s: f dB\n
,N
, direct ) ;
Para t h e t a desde thetadir hasta
360
0
si
E
( t h e t a )
>
=
1
/
2
M
a
x
E
thet
a &&
E
(theta)
<
=
1
/
2
M
a
x
E
t
h
e
t
a
+ t o l
t
h
e
t
a
m
e
d
= t h e t a ;
sale del lazo
Fin si
Fin Para
a
b
s
h
e
t
a
m
e
d ) / 1 0 ) ;
Imprimir(La relación delante atrás
de
l arreglo
lineal
d
e
antena
s
dipol
o
d
e d
e
l
e
m
e
n
t
o
s
e
s : f dB
\ n
,
N
,
RFB
) ;
Imprimir (
E
l
anch
o
de
l
ha
z
de
l arreglo lineal
d
e
antena
s
dipol
o
d
e d
elemento
s
e
s : f
g
r
a
d
o
s \ n
,
N
,
AnB
);
___INCLUSIÓN DE ARCHIVO CON DATOS GENERADOS
EN
MMANA
GAL
e = …
3
4
l
a
m
b
d
a
1
0
0
s .
c
s
v ;
d e l i m i t e r = , ;
s
t
a
r
t
R
o
w =
2
;
Para
m
a
t
S
p
e
c = _ f _ f _ f _ f _ f _ [ ^ \ n \ r ] ;
Fin Para
entonces
(
RESP ==
N
o n )
si
(
N>
1
)
Imprimir
(¿E
l vo l t a j e
d
e
a
l i
m
e
n t a
c
i
ó
n
de
pe
nd
e
s
o
l
o
d
e l a d i s t a n c i a
d
e
sep
a
ración
d
e los
elemento
s ?);
INGRESE: RESP ( Y o
N
);
entonces
RESP = N ;
Fin si
Para i
desde
1
h a s t a
N
s = [
z
e r
o
s
(
1
,M
N
) ] ;
si
(
RESP == Y o y )
b=
Valim
co
s
(YP
(i)
p
i /
. 2 5 ) ;
Vf ( i
) =
b ;
s
(
1,i
=
(2
Le(i)
entonces
(
RESP == N o n ) ;
Imprimir
(
Voltaje
d
e
a
lim
e
nta
c
ión
de
l
element
o #
2
d (
e
n voltios
)
= );
INGRESE: b ;
s
(
1,i
=
(2
Fin Para
s
=
s ’ ;
Inm
=Anm
\ s ;
p
h
i
=
1
;
Para t h e t a
desde
1
h a s t a
3600
SumEN
=
0
;
Para n
desde
1
h a s t a
N
AAA =
e
x
p
(
1i
2
p
i
YP
(n)
sin ( t
h e t a
p
i
/
1
8
0
0
)
s i n (
p
h
i
p
i / 2 ) );
SumEM=
0
;
Para
m desde
1
h a s t a
M
SumEM=
Inm(
(M
(
n
)
+m)
,1
)
(
Zmas(m
, ( t h e t a
p
i
/
1
8
0
0
) ,
n
) +
Zmenos
(
m
, ( t h e t a
p
i
/
1
8
0
0
) , n )
)
+ SumEM ;
Fin Para
SumEN=
SumEM
AAA
Le(n
)
+SumEN
;
Fin para
Etheta(1,theta+1)=
Etheta(1,theta+1)+li*(3*10^8)*(4
p
i
10^
7)/4
*
sin(thet a*pi/1800)*
ex
p
(
1i
2
p
i
YP
(n)
co
s (t
heta
p
i
/
1
80
0+YP
( n )
p
i / . 2 5 )
SumEN
;
Inmglo
b=
Inmglo
b+Inm;
Fin Para
Fin Para
Vf ;
Fin si
A
b
s
E
t
h
e
t
a
=
a
b
s (
E t h e t
a ) ;
M
a
x
A
b
s
T
h
e
t
a
=max
(
A
b
s
E
t
h
e
t
a ) ;
t a b l a
(
3
6
0
0
,
2
) =
z e
r
o
s ;
Para t h e t a
desde
1
h a s t a
3600
E
(theta)
=
(
AbsEthet
a(t h e t a ) ) . ^ 2 ;
82
Galárraga J. y Albuja G.
f i l e I D =
f
o
p
e
n (
f
i
l
e
n
a
m
e , r ) ;
dataArra
y=textscan(
D,
ParamatSpe
c,
D
eli
m
it
e
r, d
e l i m i t e r ,
T
e
x
t
T
y
p
e , s t r i n g ,
H
e
a
d
e
r
L
i
n
e
s ,
s
t
a
r
t
R
o
e
t
u
r
n
O
n
E
r
r
o
r , f a l s e ,
Fin
O
f
L
i
n
e , \ r \ n ) ;
f c l o s e ( f i l e I D ) ;
lambda3
_
4
1
0
0
s = t a b l e (
d
a
t
a
A
r
r
a
y
{
1
:
}
,
V
a
r
i
a
b
l
e
N
a
m
e
s , { ZENITHDEG ,
AZIMUTHDEG , VERTdBi , HORIdBi , TOTALdBi
}
) ;
clearvars
f
i
l
e
n
a
m
e d e l i m i t e r
s
t
a
r
t
R
o
w
Para
m
a
t
S
p
e
c f i l e I D
d
a
t
a
A
r
r
a
y
a
n
s ;
Comp=
l
a
m
b
d
a
3
_
4
1
0
0
s ( : , 4 ) ;
Comp=Comp
{ : , : } ;
C=Comp
’ ;
C
á
lcul
o
de
l
anch
o
de
l
ha
z
d
e la
anten
a,
directividad
y
r
elación
delant
e
a t r á s ,
c
o
n
d a
t
o
s
d
e
MMANA
GAL
M
a
x
E
t
h
e
t
a =
15;
Para t h e t a
desde
1
h a s t a
3600
si
C
( t h e t a ) >
M
a
x
E
t
h
e
t
a
M
a
x
E
t
h
e
t
a =
C
( t h e t a ) ;
Fin si
Fin Para
M
a
x
E
t
h
e
t
a ;
d i r e c t
=
M
a
x
E
t
h
e
t
a ;
Imprimir(La
gananci
a máxima
de
l arreglo lineal
d
e
antena
s
dipol
o,
usand
o
MMANA
GAL
,
d
e d
elemento
s
e
s : f dB \ n
,
N
, d i r e c t );
t o l
=
M
a
x
E
t
h
e
t
a / 1 0 0 ;
Para t h e t a
desde
1
h a s t a
3600
si
C
( t h e t a )
==
M
a
x
E
t
h
e
t
a
t h e t a d i r = t h e t a ;
si t h e t a d i r
1800
<0
RFBM=
ab
s
(C
h e t a d i r
+
1
8
0
0
) ) ;
entonces
RFBM=
ab
s
(C
h e t a d i r -
1
8
0
0
) ) ;
Fin si
Fin si
Fin Para
Para t h e t a desde thetadir hasta 3600
si
C
( t h e t a )
>=
M
a
x
E
t
h
e
t
C
(th
e t a )
<=
M
a
x
E
t
h
e
t
t h e t a m e d = t h e t a ;
sale del lazo
Fin si
Fin Para
ab
s
hetame
d) / 1 0 ) ;
Imprimir (La relación delante atrás
de
l arreglo lineal
d
e
antena
s
dipol
o,
usand
o
MMANA
GAL
,
d
e d
e
l
e
m
e
n
to
s
e
s : f dB\ n
,
N
,
RFBM) ;
Imprimir (
E
l
anch
o
de
l
ha
z
de
l arreglo lineal
d
e
antena
s
dipol
o,
usand
o
MMANA
GAL
,
d
e d
elemento
s
e
s: f
grado
s \ n , N
,
AnBM) ;
theta desde
0, cada p
i
/1800
h a s t a
2
p
i
p i
/ 1 8
0 0
;
f i g u r a ( 1 ) ;
polar(
thet
a,
Etheta
D
B ,
g
r
e
e
n ) ;
f i g u r a ( 2 ) ;
p o l a r (
t h e t
a , E ,
r
e
d ) ;
f i g u r a ( 3 ) ;
p o l a r (
t h e t
a
, C
,
b
l
u
e ) ;
Función para cálculo de la integral de la Función de
Green de la integral de Pocklington
función
y
= i n t
e
g r
a
l
G
2
(
Z
)
global Le LM N1 N2 M1 M2
R
r
e
d
Rplu
s=sqrt(
Rre
d +
(LM(
N1
,M1)+Z
) . ^ 2 ) ;
Rminu
s=sqrt(
Rre
d+
(LM(
N1
,M1
y=((
exp(
2
p
i
Rminu
s)./(
Rminu
s))
+
(
(
exp(
2
p
i
.
Rplu
s)./(
Rplu
s))))
.
co
s
((2
p
i
.
Z . / Le
(
N2
) );
Función para cálculo de la sumatoria de la Función de
Green de la integral de Pocklington
función
G2=
s
u
m
a
t
o
r
i
a
G
2
(
UL
)
g l o b a l
R
r
e
d N1 M1 LM
Rplu
s = sqrt(
R
r
e
d +
(LM(
N1
,
M1
) +UL
) . ^ 2 ) ;
Rminus =
sqrt
G2=
exp(
2
p
i
Rplu
s)/
Rplu
s+
exp(
2
p
i
Rminu
s)/
Rminu
s ;
Función para el cálculo de la componente angular
positiva del potencial vectorial.
función
y
=Zmas (
m,
t h e t
a , n )
g l o b a l Le
y1
=(((2
p
i)/Le(n)
p
i
.
co
s(theta))
Le(n)/2
si
y
1 == 0
y
=
1
;
entonces
y
= s i n (
y
1 ) . /
y
1 ;
Fin si
Función para el cálculo de la componente angular
negativa del potencial vectorial.
función
y
=
Zmenos
(
m,
t h e t
a , n )
g l o b a l Le
y1
=(((2
p
i)/Le(n
)
2
p
i
.
co
s(theta))
Le(n)/2
si
y
1 == 0
y
=
1
;
entonces
y
= s i n (
y
1 ) . /
y
1 ;
Fin si
elementos colindantes.
función
y
= E
n
e
r
g
i
a (
t h e t
a ,
p
h
i )
g l o b a l M N YP Le
I
n
m
g
l
o
b
SumEN
=
0
;
Para n
desde
1
h a s t a N
AAA=
e
x
p
(
1 i
2
p
i
YP
83
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación Tipo Dipolos
( n )
.
s i n ( t h e t a )
.
s i n (
p
h
i ) ) ;
SumEM=
0
;
Para
m desde
1
h a s t a M
SumEM=
Inmglo
b(
(M
(
n
1)
+m)
,1
).
(
Zmas(
m,
thet
a,n
)+
Zmenos
(
m,
thet
a,n)
) +SumEM
Fin Para
SumEN=
SumEM
Le(n)
/2+
SumEN
;
Fin Para
y
=3.
7
5
p
i .
(
a
b
s
(
SumEN
) . ^
2 ) .
( s i n ( t h e t a ) . ^ 3 ) ;
elementos colindantes.
función
y
=Enmax
(
t h e t
a ,
p
h
i )
g l o b a l M N YP Le
I
n
m
g
l
o
b
SumEN
=
0
;
Para n
desde
1
h a s t a N
AAA=
ex
p
(
1i
2
p
i
YP
(n)
.
sin(
theta )
.
s i n (
p
h
i ) ) ;
SumEM=
0
;
Para
m desde
1
has t a M
SumEM=
I
n
m
g
l
o
b (
(M
(
n
1)
+m)
,
1
)
(
Zmas (
m,
t h e t
a , n )
+
Zmenos
(
m,
t h e t
a , n )
) +SumEM
;
Fin Para
SumEN =
SumEM
AAA
Le ( n )
/
2
+
SumEN
;
Fin Para
y
=
3
.
7
5
p
i
(
a
b
s
(
SumEN
) . ^
2 )
(s i n ( t h e t a ) . ^ 2 );
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Se realiza la comparación de los patrones de
radiación obtenidos en la investigación, con los
dados por los fabricantes, los presentados en los
textos y los obtenidos mediante el uso del simulador
MMANA − GAL.
Se trabajó con antenas o sistemas radiantes a las
frecuencias de operación: banda III, de 174 a 200
MHz y banda IV, de 470 a 488 MHz y de 512 a
608 MHz.
3.1 Criterios de comparación para los parámetros
de los diagramas de radiación
Dado que al encontrar los diagramas de radiación
de los elementos o sistemas radiantes se obtienen
grácas que presentan magnitudes relativas de
los campos que se generan, las comparaciones
geométricas entre los diagramas de radiación van a
ser fundamentales, así:
Tabla 1.
Criterios de valoración para denir la relación de
aspecto de los diagramas de radiación obtenidos
Los diagramas que no presenten coincidencia en
su ubicación angular ni en su número de lóbulos
principales, se les considera inhabilitados para
análisis posteriores de sus patrones.
Con la suma de los criterios de la Tabla 1, se dene
la Tabla 2:
Tabla 2.
Valoraciones de la Relación de Aspecto de los
diagramas de radiación obtenidos
Además de los criterios geométricos de comparación
de los patrones de radiación, también se plantean
otros criterios que permiten comparar de manera
más cuantitativa los patrones de radiación obtenidos:
84
Galárraga J. y Albuja G.
Tabla 3.
Criterios de valoración para comparar los
diagramas de radiación obtenidos
Al hacer uso del error relativo porcentual, se
consideran como valores reales los de referencias
externas a la investigación y como valores medidos
los obtenidos en la investigación.
Con la suma de los criterios de la Tabla 3, se dene
la Tabla 4:
Tabla 4.
Valoraciones de los patrones de radiación obtenidos
3.2 De las antenas dipolo
Se realizó la comparación de las características de
los patrones de radiación del dipolo elemental: h ≤
λ/50, con respecto del dado por [6] y con respecto
del obtenido haciendo uso del simulador MMANA−
GAL obteniéndose una Excelente coincidencia
entre sus características, así:
Tabla 5 .
Comparación de los diagramas de radiación del
dipolo elemental
Para la comparación de los patrones de radiación
del dipolo de longitud nita: λ/10 ≤ h ≤ 3λ, se lo
realizó tanto para un dipolo de λ/2 como para un
dipolo de 3/2 λ con respecto de los dados por [7]
y con respecto de los obtenidos haciendo uso del
simulador MMANA−GAL obteniéndose unas
Excelentes coincidencias entre sus características,
como se muestra en la siguiente tabla: (Anexo
Tabla 6)
3.3. De los arreglos de antenas dipolo
Se realizó la comparación de las características de
los patrones de radiación de un arreglo Yagi-Uda
de 3 elementos, con respecto del dado por [3] y con
respecto del obtenido haciendo uso del simulador
MMANA−GAL obteniéndose poca coincidencia
entre sus características, como se muestra en la
tabla: (Anexo Tabla 6)
La comparación de los patrones de radiación de un
arreglo Yagi-Uda de 6 elementos, con respecto de
los dados por [8] presentan mucha coincidencia;
y se encuentra que tienen poca coincidencia entre
sus características con las del patrón de radiación
resultante del uso del simulador MMANA − GAL,
como se muestra en la tabla: (Anexo Tabla 7)
Al comparar los patrones de radiación de un arreglo
Yagi-Uda de 5 elementos, se encuentra que tanto
con respecto de los dados por [9] como el resultante
de usar el simulador MMANA – GAL, presentan
una excelente coincidencia entre sus características;
como se muestra en la tabla: (Anexo Tabla 8)
Se realizó la comparación de las características
de los patrones de radiación de un arreglo Log −
Periódico de 5 elementos, con respecto del dado
por [10] y con respecto del obtenido haciendo uso
del simulador MMANA−GAL obteniéndose escasa
coincidencia entre sus características, como se
muestra en la tabla: (Anexo Tabla 9)
La comparación de los patrones de radiación de
un arreglo Log − Periódico de 13 elementos, con
respecto de los dados por [10] presentan poca
coincidencia; y se encuentra que tienen escasa
coincidencia entre sus características con las del
85
Simulación y Descripción Matemática de Patrones Derivados de Sistemas de Radiación Tipo Dipolos
patrón de radiación resultante del uso del simulador
MMANA − GAL, como se muestra en la tabla:
(Anexo Tabla 10)
4. CONCLUSIONES
4.1 Dados los resultados obtenidos de las
comparaciones de las características de los patrones
de radiación, se encuentra que el programa
desarrollado entrega excelentes resultados para
antenas simples, dipolos elementales y dipolos
cortos, y tiene validez pues entrega resultados
muy cercanos a los esperados para los arreglos
de dipolos lineales tipo
Y
agi −
U
da, pero no
entrega resultados adecuados para los arreglos
de dipolos lineales tipo Log − Periódicos, para
los que se lograron pocas coincidencias entre las
características esperadas, siendo la característica
más aceptable que se obtiene, la de la directividad
del arreglo.
4.2 El papel de la modelación y la simulación en los
procesos de enseñanza-aprendizaje en la ingeniería,
y en particular de los ingenieros en electrónica
y telecomunicaciones se destaca con la presente
investigación.
4.3 Al modelo trabajado en la presente investigación,
que se basa en la integral de Pocklington, le hace
falta considerar la inuencia mutua entre los
elementos activos, dado que se asume para la
modelación que el elemento activo en análisis es
el único que se encuentra radiando, sin considerar
en efecto que los otros elementos se encuentran
radiando simultáneamente.
Se llega a la anterior conclusión puesto que cuando
se trabaja con distinta cantidad de modos en este tipo
de sistemas radiantes con varios elementos activos,
los lóbulos principales de radiación no mantienen la
misma disposición angular.
4.4 En el modelo desarrollado en la investigación
realizada no se considera la posibilidad de contar
con elementos con distinto radio, situación que
no permite obtener las mejores características
de los patrones de radiación que se esperan;
la diferenciación de los distintos radios de los
elementos lo tiene incorporado el MMANA-GAL,
lo que hace que este programa libre sea uno de los
más conables para la modelación y simulación de
arreglos de antenas.
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86
Galárraga J. y Albuja G.
Anexos
Tabla 6 .
Comparación de los diagramas de radiación del
dipolo de λ/2
Tabla 6.
Comparación de los diagramas de radiación
del arreglo tipo Yagi - Uda de 3 elementos
Tabla 7.
Comparación de los diagramas de radiación del
arreglo tipo Yagi - Uda de 6 elementos
Tabla 8.
Comparación de los diagramas de radiación del
arreglo tipo Yagi - Uda 600265 de 5 elementos
Tabla 9 .
Comparación de los diagramas de radiación
del arreglo tipo Log − Periódico 75010242 de 5
elementos
Tabla 1 0 .
Comparación de los diagramas de radiación
del arreglo tipo Log − Periódico D9108A de 13
elementos
