REVISTA INGENIO
Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-
Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de Equilibrio Superior Sección
Constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
Evaluation of the Genetic Algorithms Technique for the Multi-objective Optimization of the Sizing of a
Constant Section Surge Tanks and its Junction Branch in a Hydroelectric Power Plant.
Gabriela del Cisne Bravo Ureña | Escuela Politécnica Nacional - EPN, Quito, Ecuador
https://doi.org/10.29166/ ingenio.v8i1.7006 pISSN 2588-0829
2025 Universidad Central del Ecuador eISSN 2697-3243
CC BY-NC 4.0 —Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial 4.0 Internacional ng.revista.ingenio@uce.edu.ec
, (), - , . -
Este proyecto presenta la aplicación de un algoritmo genético utilizado en el mejoramiento de un sistema
hidroeléctrico (sistema de embalse, túnel, chimenea de equilibrio superior, tubería de presión y turbina),
utilizando diversas variables hidrodinámicas (ujo transitorio, velocidad de propagación de onda, fenó-
menos transitorios) y económicas, para alcanzar una optimización de la geometría de la chimenea de
equilibrio superior y su ramal de unión. Se desarrolló un programa utilizando el soware Matlab por el
método de las características para el desarrollo de un modelo numérico unidimensional en una central
hidroeléctrica, cuyos resultados fueron las variaciones de la carga piezométrica y caudal al existir un
evento transitorio. Aplicando un código para el uso de algoritmos genéticos y utilizando las variables de
la función objetivo y parámetros a optimizar, como son el diámetro del ramal de unión y el diámetro de
la chimenea de equilibrio, se obtuvieron tres soluciones para el diseño de la chimenea, cada solución se
analizó en función de su geometría y costo de construcción. El diseño nal cumple con los requisitos téc-
nicos y se integra adecuadamente al entorno. Para comprobar la funcionalidad del programa se realizó el
análisis, comparación y comprobación en diez centrales hidroeléctricas, con sus principales parámetros
que son el diámetro del ramal de unión, costo de construcción por unidad monetaria y la oscilación,
dando como resultados diferentes soluciones, dependiendo de las características iniciales de cada una de
las centrales hidráulicas analizadas.
is project presents the application of a genetic algorithm used in the improvement of a hydroelectric
system (reservoir system, tunnel, upper equilibrium chimney, pressure pipe, and turbine), utilizing various
hydrodynamic (transient ow, wave propagation speed, transient phenomena) and economic variables, to
achieve optimization of the geometry of the upper equilibrium chimney and its connection branch. A pro-
gram was developed using Matlab soware by the method of characteristics to create a one-dimensional
numerical model in a hydroelectric power plant, with results showing variations in piezometric head and
ow during a transient event. By applying a code for genetic algorithms using the variables of the objective
function and parameters to optimize, such as the diameter of the connection branch and the diameter of
the equilibrium chimney, three solutions for the chimney design were obtained, each analyzed based on
its geometry and construction cost. e nal design meets technical requirements and integrates well with
the environment. To verify the functionality of the program, an analysis, comparison, and validation were
performed on 10 hydroelectric power plants, using their main parameters, including the diameter of the
connection branch, construction cost per monetary unit, and oscillation, resulting in dierent solutions
depending on the initial characteristics assigned to each of the analyzed hydraulic plants.
Recibido: 27/7/2024
Recibido tras revisión: 30/9/2024
Aceptado: 5/11/2024
Publicado: 03/01/2025
Algoritmos genéticos, central hidroeléc-
trica, método de las características, mul-
tiobjetivo, chimenea de equilibrio, ramal
de unión.
Genetic algorithms, hydroelectric power
plant, method of characteristics, mul-
ti-objective, surge tanks, junction branch.
1. INTRODUCCIÓN (Base teórica)
Un aprovechamiento hidroeléctrico es un sistema de
obras hidrotécnicas, que permiten la generación de ener-
gía limpia para el desarrollo de todo tipo de actividades
económicas. Dados los altos costos de inversión que re-
presenta la conceptualización, diseño, construcción, su-
pervisión y puesta en marcha de este tipo de proyectos,
es transcendental desarrollar metodologías que permi-
tan la optimización de la geometría de los componentes
de estos sistemas hidroeléctricos [1], involucrando mé-
todos numéricos y técnicas innovadoras de amplia apli-
cabilidad en ingeniería.
Un esquema típico de un aprovechamiento hidroeléc-
trico de mediana y gran potencia, describe a un sistema
en donde toda la conducción se encuentra totalmente
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Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
Los fenómenos transitorios son anomalías ocasiona-
dos por la variación de presiones en las conducciones a
presión, estos fenómenos pueden ocasionar grandes da-
ños en los sistemas de tuberías encargadas del transporte
de agua, es por eso que se los estudia en un régimen tran-
sitorio o modelo elástico, con el n de anticipar matemá-
ticamente los efectos producidos por el golpe de ariete,
las sobrepresiones y subpresiones que pueden ocasionar
el daño o ruptura de la tubería.
El aprovechamiento hidroeléctrico es una serie de
instalaciones vitales para transformar la energía potencial
de un curso de agua en energía eléctrica, procedimiento
que permite aprovechar la energía potencial presente en
el agua convirtiendo, primero, en energía cinética, a con-
tinuación, en energía mecánica de rotación de la turbina,
y nalmente en energía eléctrica.
Se considera como un embalse a un depósito de
agua que está compuesto por una cuenca alimentadora,
un terreno natural donde se almacenará el agua y una
estructura de contención que resistirá la presión del agua
o presa; antes de crear este embalse es necesario denir
cuál será la necesidad que este va a satisfacer, esto será
una pauta para conocer el tamaño, ubicación y volumen
de agua que se utilizará. Una vez determinados estos pa-
rámetros, se estudiará la cuenca y las posibilidades que
esta tiene para proporcionar el agua, por lo tanto, un em-
balse será el resultado de la construcción de una repre-
sa en un terreno natural que encerrará el cauce de un río
permitiendo almacenar cierto volumen de agua para sa-
tisfacer las demandas de una población.
Un túnel de presión servirá de paso y conducción
para caudales turbinados, reduciendo la longitud de de-
sarrollo de los canales de conducción, mediante una obra
de toma y bajo la protección de rejillas, se alimenta al tú-
nel de presión, evitando el ingreso de basura, peces, etc.
Esta obra de toma se ubicará por encima del nivel donde
se encuentra basura o algo que pueda obstruir el embalse.
Las chimeneas de equilibrio superior, también lla-
madas pozos de oscilación o torres piezométricas, “Son
estructuras complementarias a infraestructuras que tra-
bajan con agua y cuyo objetivo es servir de amortiguador
a sobrepresiones y subpresiones del canal” [6].
La tubería de presión se encarga de transportar el
agua desde la captación hasta las turbinas, soportando
grandes presiones [7]; el caudal, la altura neta, la veloci-
dad del agua, las pérdidas de carga y presión son las prin
-
cipales características que inuyen en el funcionamiento
de esta tubería [8].
El objetivo principal de una turbina es transformar
la energía hidráulica en energía mecánica que, trabajan-
do juntamente con un generador, se convertirá en ener-
gía eléctrica, siendo esta una pieza importante dentro de
una central hidroeléctrica. El tipo de turbina a utilizar de-
pende directamente de la altura del salto y de la cantidad
de agua o caudal que la central proporcione para generar
presurizada, desde el sitio de captación hasta la casa de má-
quinas. Esta tipología de aprovechamiento, normalmen-
te asocia la presencia de obras subterráneas como túneles,
pozos de carga, tuberías enterradas, cavernas, entre otras
[2]. Estas estructuras encarecen los proyectos, motivo por
el cual deben optimizarse técnica y económicamente, to-
mando en consideración todos los procedimientos de ope-
ración de una central hidroeléctrica.
El análisis de ujo no permanente en un aprovecha-
miento hidroeléctrico, permite estimar la variación de la
carga piezométrica y caudal en el dominio espacio (x) -
tiempo (t). En función de la variación de estos parámetros
hidrodinámicos, se debe buscar las formas y/o dispositi-
vos para atenuar los efectos de este ujo transitorio y pre-
venir afectaciones a la conducción del sistema; elemento
que regularmente suele ser el más costoso de todo el pro-
yecto [3]. Los dispositivos o estructuras que brindan ma-
yores prestaciones para la atenuación del golpe de ariete
generado en un aprovechamiento hidroeléctrico son las
chimeneas de equilibrio, en donde los efectos del transi-
torio son sobrellevados mediante una oscilación de masa.
El dimensionamiento de una chimenea de equilibrio
superior conlleva al análisis del ujo transitorio en todo
el sistema hidroeléctrico, en donde se deben determinar
las conducciones con sus propiedades elásticas, el uido
con su módulo de compresibilidad y la variación de cau-
dal en el sistema. Posteriormente, se dene la geometría
de la chimenea de equilibrio y su ramal de unión, reali-
zando un proceso iterativo en el cual se analizan varios
escenarios de operación de la central [4]. Este proceso tie-
ne por objeto optimizar la geometría de la chimenea de
equilibrio y su ramal de unión, ajustándose generalmente
a un procedimiento manual prueba-error hasta cumplir
con las condiciones impuestas por el diseñador.
Todo este proceso debe ser ordenado y compilado en
una metodología que permita emplear menores tiempos
en el dimensionamiento de una chimenea de equilibrio.
Por esta razón se planteará una metodología que involu-
cre la resolución del ujo transitorio en un sistema em-
balse - túnel - chimenea - tubería de presión - turbinas,
mediante el método de las características, para obtener
la variación del caudal y carga piezométrica en el tiempo
y espacio. Posteriormente se ejecutará una optimización
multiobjetivo utilizando la técnica de algoritmos genéti-
cos (AG), en donde se involucren la mayoría de los pará-
metros hidrodinámicos, de diseño civil y económicos, a
n de obtener una geometría adecuada de una chimenea
de equilibrio superior.
La velocidad de propagación de onda es la relación
entre un espacio recorrido igual a la longitud de onda y
el tiempo que se demora en recorrerlo; una onda es la va-
riación de ujo que se puede presentar en un cambio de
caudal o en la elevación de la supercie de agua, en cam-
bio la celeridad de onda indica la velocidad con la cual esa
variación se mueve a lo largo del canal [5].
73
Bravo Gabriela
energía hidráulica, por eso se tiene dos tipos de turbinas:
de acción y de reacción [9].
Dentro de este ramal de unión con la conducción se
explica el concepto de chimenea de oricio, es necesario
que el control de la presión máxima que pueda generarse
en el oricio no exceda a la carga máxima que se produ-
ce debido a la oscilación [3].
El método de las características es un procedimien-
to que sirve para resolver los modelos dinámicos elásti-
cos, se lo utiliza para el análisis de ujo no permanente en
las tuberías, ya que a través de esta técnica se puede anali-
zar fácilmente la introducción de diferentes condiciones y
consideraciones de borde, es un método muy utilizado en
la resolución de modelos dinámicos elásticos.
Cuando se analiza un ujo transitorio, se pretende
obtener la solución para conocer completamente las fun-
ciones que determinan las presiones y velocidades en
cualquier punto de la conducción y en cualquier instan-
te de tiempo.
Es necesario partir de la ecuación de continuidad, en
forma diferencial, para realizar el balance diferencial de
masa, de esta forma se obtiene la Ecuación de continuidad:
(1)
Luego se analiza el balance diferencial de fuerzas, que
se efectúa a partir de la ecuación de la cantidad de mo-
vimiento, en forma diferencial, resultando la ecuación:
(2)
Donde:
a = Celeridad de la onda de presión.
= Altura piezométrica en función del tiempo.
= Velocidad en función del espacio (longitud)
= Caudal en función del tiempo.
V = Velocidad.
= Grado de inclinación de la tubería.
= Velocidad en función del tiempo.
f= Factor de fricción adimensional de Darcy.
D = Diámetro de la tubería.
= Altura piezométrica en función del espacio (longi-
tud).
A= Área de la tubería.
Q= Caudal.
La Ecuación de continuidad (ver Ecuación 1) y la Ecua-
ción de cantidad de movimiento (ver Ecuación 2) se de-
ben colocar en función del caudal con relación a la velo-
cidad, luego, mediante integración numérica, se obtiene
el sistema de ecuaciones que representan las característi-
cas positiva y negativa.
Las condiciones de contorno son las modicaciones
de la presión en el sistema en el tiempo y espacio, son re-
presentadas por la Ecuación 1 y la Ecuación 2; para re-
solver es necesario conocer los componentes del sistema
hidráulico (depósitos, cambio de diámetro de tuberías,
bombas, válvulas) y sus propiedades; otras expresiones
más utilizadas son en función de las variables H y Q, que
modelan el comportamiento de dicho punto, frente a
cambios en sus propiedades iniciales.
El algoritmo genético (AG) es una técnica de progra-
mación que utiliza una evolución biológica para la resolu-
ción de problemas [10]. Una vez planteado un algoritmo
genético, la entrada de este es un conjunto de soluciones
potenciales que se presentarán en ese problema codica-
dos de cierta manera y mediante la función aptitud, per-
mitiendo una evaluación cuantitativa a cada parámetro o
candidato, cada candidato son posibles soluciones que fun-
cionarán con el objetivo de mejorar el algoritmo genético.
Estos algoritmos son una familia de procedimientos
basados en modelos de cambios genéticos para cierta po-
blación de individuos [12], mediante una selección natu-
ral se combina la supervivencia de cada secuencia mejor
adaptada con cambios aleatorios de información, los or
-
ganismos genéticos son algoritmos de búsqueda [11].
El funcionamiento de un algoritmo genético se ase-
meja al proceso de evolución en la naturaleza, y consta de
varios componentes clave:
·
Población inicial: Se crea una población inicial de po-
sibles soluciones al problema que se está tratando de
resolver. Estas soluciones se representan de manera ge-
nérica.
·
Función de aptitud (tness): Se dene una función
de aptitud que evalúa cuán “buena” es cada solución
en la población. Esta función asigna un valor numéri-
co a cada solución basado en su capacidad para resol-
ver el problema. Cuanto mayor sea la aptitud, mejor
será la solución.
·
Selección: Se seleccionan soluciones de la población
actual para crear una nueva generación. Las solucio-
nes con una aptitud más alta tienen una mayor proba-
bilidad de ser seleccionadas, pero las soluciones menos
aptas también tienen una pequeña probabilidad de ser
elegidas, lo que permite una exploración más amplia
del espacio de búsqueda.
·
Cruzamiento (crossover): Las soluciones seleccio-
nadas se combinan entre sí mediante operaciones de
cruzamiento, que mezclan partes de las soluciones pa-
rentales para crear nuevas soluciones. Esto simula la
recombinación genética en la biología.
·Mutación: Ocasionalmente, se introduce un pequeño
grado de cambio aleatorio en las soluciones resultantes
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Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
mediante la mutación. Esto ayuda a introducir diversi-
dad en la población y evita que el algoritmo quede atra-
pado en óptimos locales.
·
Evaluación de la terminación: Se evalúa si se ha alcan-
zado algún criterio de terminación, como un número
máximo de generaciones o una solución lo suciente-
mente buena.
·
Reemplazo: La nueva generación reemplaza a la gene-
ración anterior, y el proceso se repite hasta que se cum
-
pla el criterio de terminación.
1.1. TRABAJOS RELACIONADOS
Tabla 1.
Artículos, libros o referencias más utilizados en la investigación
ARTÍCULO ASPECTOS IMPORTANTES RESULTADOS OBTENIDOS
Design-Variable Optimization
of Hydropower Tunnels and
Surge Tanks Using a Genetic
Algorithm. Journal of Water
Resources Planning and Ma-
nagement. [13].
El objetivo principal es maximizar la eciencia y la
funcionalidad de estos componentes en el contexto
de proyectos de energía hidroeléctrica.
Los autores proponen un enfoque que se basa en
la simulación de computadora y la evaluación de
múltiples escenarios para determinar las congura-
ciones óptimas
El proceso de optimización implica la denición de
un conjunto de variables de diseño que afectan el
rendimiento de los túneles y tanques de sobrepre-
sión. Luego se utiliza un algoritmo genético para
explorar y evaluar una variedad de combinaciones
posibles de estas variables.
Contribuye al campo de la planica-
ción y gestión de recursos hídricos al
ofrecer un enfoque práctico para opti-
mizar la infraestructura clave en pro-
yectos de energía hidroeléctrica.
Los resultados de la optimización pro-
porcionan pautas valiosas para mejo-
rar el diseño y la eciencia de túneles
y tanques de sobrepresión, lo que pue-
de tener un impacto signicativo en la
producción de energía y la gestión de
recursos hídricos en general.
uzzy genetic algorithm
approach for optimization of
surge tanks. Scientia Irani-
ca [11].
Se centra en el uso de un enfoque que combina al-
goritmos genéticos y lógica difusa para la optimi-
zación de tanques de sobrepresión en proyectos de
ingeniería.
La lógica difusa se utiliza para manejar la incerti-
dumbre y la imprecisión en los datos y restriccio-
nes del problema de optimización.
Los algoritmos genéticos, se emplean para explorar
y encontrar soluciones óptimas dentro del espacio
de diseño denido.
Este enfoque combina la capacidad de los algorit-
mos genéticos para buscar soluciones globales con
la exibilidad de la lógica difusa para manejar la
vaguedad en los criterios de diseño y restricciones.
Esta técnica puede ayudar a mejorar
la eciencia y la funcionalidad de los
tanques de sobrepresión en sistemas
hidráulicos y, en última instancia, con-
tribuir a una gestión más efectiva de
recursos hídricos y sistemas de abaste-
cimiento de agua.
Ofrece una forma efectiva de abordar
problemas de optimización en siste-
mas hidráulicos y de gestión de agua,
teniendo en cuenta la incertidumbre y
la vaguedad en los datos y restricciones
del problema.
Aplicación del algoritmo ge-
nético multiobjetivo strength
pareto evolutionary algorithm
(SPEA) y su efectividad en el
diseño de redes de agua pota-
ble. Caso: Sector Viñanitacna
(Tesis pregrado) [4].
El objetivo principal es encontrar soluciones que
equilibren múltiples objetivos, como la minimiza-
ción de costos de construcción, la maximización de
la eciencia del suministro de agua y la minimiza-
ción de pérdidas de agua.
Los resultados obtenidos muestran
cómo SPEA puede generar soluciones
que representan compromisos efectivos
entre los objetivos múltiples.
Se discuten las ventajas y limitaciones
del enfoque, así como las implicaciones
para el diseño de redes de agua potable
en áreas similares.
75
Bravo Gabriela
ARTÍCULO ASPECTOS IMPORTANTES RESULTADOS OBTENIDOS
Transient stability of a hy-
droturbine governing system
with dierent tailrace tun-
nels. Journal of hydraulic re-
search. [7].
Este estudio se enfoca en analizar la estabilidad
transitoria de un sistema de regulación de turbi-
nas hidráulicas y cómo esta estabilidad se ve afecta-
da por las características de los túneles de desagüe
asociados.
Se examina cómo diferentes diseños y geometrías
de túneles de desagüe pueden impactar la respues-
ta transitoria del sistema de regulación de las tur-
binas. Esto se hace mediante análisis de simulación
y modelado computacional que tienen en cuenta
una variedad de condiciones operativas y escena-
rios transitorios.
Arrojan luz sobre cómo seleccionar y
congurar adecuadamente los túneles
de desagüe para optimizar la estabili-
dad y el rendimiento de las turbinas en
situaciones transitorias, como cambios
en la carga o perturbaciones en el siste-
ma eléctrico.
Los hallazgos del estudio tienen impli-
caciones importantes para la operación
eciente y segura de plantas hidroeléc-
tricas.
2. Metodología
2.1. FLUJOGRAMA GENERAL DE LA METODOLOGÍA
APLICADA
Para desarrollar la Ecuación 1 y Ecuación 2 para analizar
el método de las características y el algoritmo genético
a tratarse en este proyecto, proponiendo realizar una
optimización de la chimenea de equilibrio, generando
un modelo matemático del ujo transitorio en un sis-
tema propuesto, primero se necesita denir claramente
el sistema y las variables involucradas. En la Figura 1 se
proporciona una descripción general de cómo se podría
abordar el problema de ujo transitorio considerando
preproceso, proceso y postproceso.
Figura 1.
Flujograma general de la metodología aplicada.
INICIO
FLUJO PERMANENTE
DISCRETIZACIÓN
CONDICIONES DE
CONTORNO INICIAL
SOLVER
RESULTADOS
FIN
PROCESO
PREPROCESO
POSTPROCESO
2.1.1. Preproceso
El preproceso se reere a las tareas o acciones que se
realizan antes de ejecutar un proceso principal, es de-
cir, preparar los datos, conguraciones, entornos u otros
elementos necesarios para que el proceso principal sea
efectivo y eciente.
Para este proyecto se ha generado varios scripts como son:
·
MET_CAR: Aplicación que desarrolla el método de las
características.
· COURANT: calcular la celeridad para cada una de las
tuberías ingresadas.
·
ALG_GEN: Genera resultados en base a algoritmos ge-
néticos.
·
RESULTADOS: Genera grácas y tablas de los resulta-
dos del ALG_GEN.
Las condiciones iniciales consisten en la información
sobre datos geométricos e hidráulicos de la conducción y
de la chimenea de equilibrio, para ingreso inicial son ne-
cesarios los siguientes datos:
Para conductos:
· Longitud de tramo
· Diámetro de tramo
· Coeciente de rugosidad
· Caudal
Para chimenea de equilibrio:
· Variación Volumétrica
· Diámetro de la chimenea de equilibrio
· Diámetro del ramal de unión
·
Coecientes de pérdidas a la entrada y/o salida de la
chimenea
Una vez ingresados todos los datos geométricos, iniciará
la simulación y dentro del código empezará la resolución
de las condiciones de contorno como las condiciones ini-
ciales del sistema.
Las condiciones de contorno especican los cálculos
a algunas condiciones particulares en los límites o con-
tornos del sistema.
76
Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
· Condiciones aguas arriba
· Condiciones aguas abajo
· Condiciones puntos intermedios
· Condiciones de la chimenea de equilibrio
El método de las características necesita determinar
el paso del tiempo y espacio, garantizando la convergen-
cia del modelo, para poder lograrlo se utiliza la condición
de Courant - Friedrichs - Lewy [1].
Una vez analizadas cada una de las tuberías por se-
parado se considera el criterio de Courant - Friedrichs -
Lewy y se dene un ∆x, ∆t, número de tramos, el error
permitido será menor al 10% que es una de las condicio-
nes para que sea convergente el modelo.
La carga piezométrica se la determina obteniendo los
datos del nivel del embalse ya que este será igual al pun-
to extremo de aguas arriba que es el nivel estático de pre-
sión en un reservorio.
2.1.2. Proceso
En esta etapa se ejecutan las operaciones especícas. El
propósito del proceso es realizar el trabajo principal para
el cual se preparó los datos o el entorno durante el prepro-
ceso, a continuación, se detalla el procedimiento realizado.
En un ujo transitorio existe una variación de los pa-
rámetros hidrodinámicos a través del tiempo generando
diferencias en la carga piezométrica en sobrepresiones y
depresiones. Para determinar las ecuaciones hidráulicas en
un sistema de Embalse - Túnel - Chimenea de Equilibrio
Superior - Tubería de presión – Turbina, se debe resolver
las ecuaciones diferenciales de masa y fuerza utilizando el
método de las características, esta técnica de métodos nu-
méricos es en base al estudio de los transitorios, buscando
un modelo que no simplique las ecuaciones y considere
todas las variables, como es el modelo elástico.
Una vez seleccionado el método de las característi-
cas como modelo de resolución para el sistema propues-
to, en la Figura 2 se desarrolló un ujograma que consiste
en representación de una serie de procesos en donde se
indica el procedimiento de resolución del método de las
características.
Para la programación de los algoritmos genéticos se
requiere una representación adecuada y una función ob-
jetivo que ajuste al problema, que asigne un número real
a cada posible solución de codicación. Donde primero
se debe seleccionar un padre para la reproducción y luego
se realizará el cruce para generar dos hijos, con un opera-
dor de mutación diferente.
El resultado de la combinación será un conjunto de in-
dividuos (posibles soluciones al problema) que serán parte
de la siguiente población. Un individuo debe representar-
se como un conjunto de parámetros (genes) que cuando se
combinan forman una cadena de valores (cromosomas).
La función objetivo juega un papel importante en la
clasicación potencial de las soluciones según sus carac-
terísticas, es el criterio para optimizar y evaluar las cua-
lidades individuales. Las funciones objetivo que se van a
utilizar en este proyecto son:
· Diámetro del Ramal de unión (DOR)
· Diámetro de Chimenea de Equilibrio (DCH)
Una vez denidas las funciones objetivo, estas van a
ser los valores que el algoritmo genético va a buscar en-
tre las restricciones dadas por el usuario, de estos diáme-
tros se eliminarán todas las opciones que sobrepasen las
condiciones del sistema que se incluirán al modelo como
datos iniciales.
Una vez denidos los diámetros el programa desarro-
llará el método de las características en donde entrega los
resultados de carga piezométrica que ocurre en la chime-
nea de equilibrio, y se compara con los valores del nivel
máximo que puede tener la chimenea.
Una vez elegida la solución que cumpla con todas las
condiciones del proyecto, el programa realiza un listado
de las soluciones más sobresalientes obtenidas de los da-
tos iniciales de población e iteraciones ingresadas por el
usuario, cada uno de estos resultados tendrá adicional-
mente un valor proporcional de lo que costaría realizar
este tipo de chimenea de equilibrio en unidad monetaria,
además va a servir como referente para realizar un análi-
sis no solo con carga piezométrica, sino un costo para eje-
cutar el proyecto, su importancia radica en que se cuenta
con dos parámetros para dar una solución óptima y pre-
cisa para resolver este problema.
Se necesita denir el costo de la chimenea de equi-
librio por lo que se realizó un análisis para denir los
rubros más representativos en la construcción y los que
tienen un valor en unidad monetaria que elevan los cos-
tos en una chimenea de equilibrio.
2.1.3. Postproceso
En el postproceso se analizará los resultados del proceso
principal, realizando tareas de limpieza posteriores a to-
mar medidas basadas en los resultados.
Para realizar el análisis de las soluciones del algorit-
mo genético se creó un script llamado GRÁFICAS. Una
vez realizado el algoritmo genético el programa solicita al
usuario cargar los resultados obtenidos en el optimizador,
donde la primera tabla que se muestra tiene el diámetro
de la chimenea de equilibrio y su diámetro de ramal de
unión con el valor de la carga piezométrica.
Se puede denir que los algoritmos genéticos usados
como alternativa para solucionar problemas de dimen-
sionamiento de la chimenea de equilibrio y del ramal de
unión, son una herramienta muy ecaz debido a que son
capaces de presentar diversas opciones en lo que respec-
ta a la solución de problemas que afectan a la comunidad.
77
Bravo Gabriela
Para comprobar los resultados y determinar las rela-
ciones que pueden existir se realizaron cinco grácas que
relacionan los siguientes parámetros:
· El diámetro del oricio restringido
· El costo de la chimenea
· Pérdidas de carga
· Diferencia de diámetros
· Diámetro del oricio restringido mínimo
· Costo de la chimenea mínimo
· Diámetro del oricio restringido mínimo
· Costo de la chimenea mínimo
Con los mejores resultados obtenidos por el algoritmo
se realizó una gráca de dispersión y al aplicar la línea de
tendencia polinómica genera una relación inversamente
proporcional entre estos resultados obtenidos.
La relación inversamente proporcional entre dos va-
riables en este caso el diámetro del ramal de unión y el
costo de construcción de la chimenea de equilibrio sig-
nica que cuando una variable aumenta, la otra disminu-
ye, y viceversa, en proporciones tales que su producto se
mantiene constante.
2.2. APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA EN UN
APROVECHAMIENTO HIDROELÉCTRICO
Para demostrar la aplicabilidad del programa se busca-
ron datos en la página de Celec y se efectuó la revisión del
estudio de Factibilidad Avanzada, efectuada por ASTEC,
luego se realizaron actualizaciones de los estudios tendien-
tes a mejorar las características del proyecto hidroeléctri-
co, para denir los valores iniciales de diez centrales hi-
droeléctricas que se van a analizar en este proyecto.
Las centrales hidroeléctricas seleccionadas presentan
una diversidad de características hidráulicas que las ha-
cen especialmente interesantes para este estudio. Su aná-
lisis permitirá comprender mejor el comportamiento de
diferentes turbinas y sistemas de generación. Además, la
variedad en sus características geográcas y de diseño
ofrecerá información valiosa sobre la eciencia y optimi-
zación que se está realizando en el estudio.
A continuación, se presenta en la Tabla 2 el resumen
de los principales datos de las centrales como el nivel
máximo del embalse (NE), la cota superior del pozo de la
chimenea de equilibrio (HCH/E), la cota del eje de la tur-
bina (NT), el tipo de turbina y el caudal de diseño (Q) de
las centrales hidroeléctricas analizadas en este proyecto.
Figura 2.
Esquema Obra de toma - túnel de baja presión - chimenea de
equilibrio - tubería de presión y casa de máquinas
Tabla 2.
Datos de las centrales hidroeléctricas.
HIDROELÉCTRICA NE
(msnm)
HCH/E
(msnm) NT (man) TIPO TURBINA Q
(m3/s)
1CHONTAL 780.00 795.00 643.20 FRANCIS 180
2 MINAS SAN FRANCISCO 795.00 811.00 281.32 PELTON 65
3 LA UNIÓN 273.96 302.00 85.80 FRANCIS 65
4 OCAÑA II 451.90 480.69 275.00 PELTON 20
5 TOACHI PILATÓN 970.00 1013.00 732.00 FRANCIS 100
6 QUIJOS 2041.85 2060.00 1803.08 FRANCIS 22
7 LLANGANATES 2507.40 2499.93 2331.60 FRANCIS 13
8APAQUI 2300.00 2315.00 1704.85 FRANCIS 9
9SOPLADORA 1316.87 1333.00 978.00 FRANCIS 150
10 PALMA REAL 1148.00 1145.00 896.00 FRANCIS 80
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Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
3. Resultados y discusiones
3.1. COMPARACIÓN DE LA GEOMETRÍA DEL DISE
ÑO ORIGINAL Y EL DISEÑO OPTIMIZADO
Se realizó el proceso de optimización consiguiendo un
tiempo de 15 min, con un promedio 1.5 min por itera-
ción, este tiempo depende del tamaño de la población
inicial y el número de iteraciones ingresadas, además de
las características y capacidad tecnológica del computa-
dor utilizado para realizar la corrida.
Dentro de los resultados que se van a mostrar se en-
cuentran los datos de diseño inicial que se abreviarán
como DI, solución 1 como S1, solución 2 con S2 y solu-
ción 3 con S3 para cada una de las centrales hidroeléctri-
cas, la diferencia entre sí es la modicación del diámetro
del oricio restringido que va a ser considerablemente
más pequeño con respecto al diámetro de la chimenea
de equilibrio.
Una vez que naliza este proceso de optimización, el
programa ALG_GEN genera un archivo llamado result.
xlx en donde se encuentran los siguientes datos:
· Diámetro de chimenea de equilibrio (DCH)
·
Diámetro del oricio restringido o ramal de unión
(DOR)
· Carga piezométrica
· Costos
Una vez ltrados los resultados con los que se va a tra-
bajar se seleccionan tres soluciones basándose en los si-
guientes parámetros:
·
Solución 1 (S1): máximos costos de construcción de
chimenea de equilibrio, máxima oscilación. (Mayores
costos, mayor oscilación en chimenea de equilibrio).
·
Solución 2 (S2): costos de construcción de chimenea
de equilibrio intermedios, se escogerá oscilaciones pro-
medios. (Iguales costos igual oscilación en chimenea
de equilibrio).
·
Solución 3 (S3): mínimos costos de construcción de
chimenea de equilibrio y mínima oscilación. (Menor
costo, menor oscilación en chimenea de equilibrio).
En la Figura 3 y Figura 4 se puede observar los valores de
los diámetros de chimenea de equilibrio (DCH) vs. las
centrales hidroeléctricas y los valores de los diámetros
de oricio restringido (DOR) vs. las centrales hidroeléc-
tricas, respectivamente, en los cuales se representa las
medias de las tres mejores soluciones seleccionadas por
el programa, donde se ve claramente la diferencia entre
los diámetros con respecto al original.
Figura 3.
Relación de diámetros de chimenea de equilibrio (DCH) vs.
las centrales hidroeléctricas
Figura 4.
Relación de diámetros de chimenea de equilibrio (DOR) vs.
las centrales hidroeléctricas.
3.2. VERIFICACIÓN DE LAS ENVOLVENTES EXTRE
MAS DE CARGA PIEZOMÉTRICA
Para la resolución de transitorios en el sistema embal-
se - túnel - chimenea de equilibrio superior - tubería de
presión - turbina, se requiere de programas de cálculo
numérico que permitan la solución simultánea de las
ecuaciones de continuidad y dinámica para un ujo va-
riado y no permanente. Se utiliza el método de las carac-
terísticas que permite determinar las cargas y caudal a lo
largo de la tubería en cualquier instante de tiempo.
79
Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
Es más importante establecer los valores máximos y mí-
nimos de la carga que se presentará en cada punto de
la conducción, independientemente del tiempo en el
que se haya presentado, para cada una de las centrales
hidroeléctricas que se va a analizar. Las envolventes de
cargas extremas están conformadas por envolventes de
cargas máximas y envolventes de cargas mínimas que
dará el programa.
Una vez ingresados los datos de DOR y DCH de cada
central hidroeléctrica se generan resultados para desarro-
llar grácas de envolventes extremas de carga piezomé
-
trica, donde con sus valores de envolventes máximas y
mínimas, se podrá denir los transitorios que existen al-
rededor de la conducción.
Cada una de las centrales hidroeléctricas tendrá cua-
tro grácas para envolventes máximas - mínimas y los va-
lores iniciales, identicando que la relación con respecto
a las envolventes es muy similar, dieren muy poco con
relación a la carga piezométrica, esto indica que las so-
luciones escogidas con el programa ayudan al momento
de tomar una decisión con respecto a seleccionar la me-
jor solución.
Al analizar las envolventes de cargas mínimas se puede
indicar que si uno de los valores obtenidos pasa por debajo
del perl de la tubería se obtendrá presiones negativas en-
contrándose depresión en la conducción, para el caso de las
hidroeléctricas analizadas se puede observar que ninguna
solución da presiones negativas, por lo no existen proble-
ma de depresión ni sobrepresión en la conducción.
Un resultado de los grácos obtenidos presentados de
las envolventes de cargas extremas va a indicar el análisis
de los transitorios hidráulicos en las tuberías a presión; ade-
más, se puede observar que por sus diámetros de chimenea
de equilibrio, relativamente similares, se tiene variaciones
mínimas de la carga piezométrica, debido a la disminución
del diámetro, la carga piezométrica máxima tiene un decre
-
mento en comparación con los otros resultados y la carga
piezométrica mínima tiene un incremento.
3.3. OSCILACIONES DE MASA EN CHIMENEA DE
EQUILIBRIO SUPERIOR
A continuación, se presentan los resultados obtenidos
mediante el método de las características de la variación
de la altura piezométrica de las tuberías en el tiempo y el
efecto que ocasiona el cambio de diámetro en la chime-
nea de equilibrio o en el oricio restringido al aumento
de las pérdidas de carga.
Para cada una de las centrales hidroeléctricas, la dife-
rencia entre sí es la modicación del diámetro del oricio
restringido que va a ser considerablemente más pequeño
con respecto al diámetro de la chimenea de equilibrio,
lo que va a generar un aumento de las pérdidas de carga,
ocasionando una mejor estabilidad y amortiguación de
las oscilaciones de masa.
Como resultado, se obtiene que las oscilaciones de masa
ocurridas en la chimenea de equilibrio, varían considerable
-
mente dependiendo del área y del tipo de cierre de válvula, a
mayor área las oscilaciones presentes son menores.
Se puede apreciar que, dependiendo de cada una de
las soluciones, las oscilaciones varían de manera conside-
rable al cambiar el área de la chimenea instalada para un
mismo tipo de cierre. Teniendo en cuenta que para ma-
yor área el movimiento presenta una amplitud menor y
también un periodo mayor.
Figura 5.
Diferencia de oscilación de masa vs. centrales hidroeléctricas.
3.4. RELACIÓN ENTRE LA MÁXIMA SOBREPRESIÓN
DE LA CHIMENEA DE EQUILIBRIO Y LAS PÉRDIDAS
DE CARGA EN EL RAMAL DE UNIÓN
Al tener una chimenea de equilibrio con un oricio restrin-
gido esta produce pérdidas de carga que son mayores cuan-
do el agua entra en el tanque que cuando sale, es por esta
razón que es necesario determinar las pérdidas que existen
en comparación con una chimenea de equilibrio simple.
La carga piezométrica máxima que existe en una chi-
menea de equilibrio con y sin oricio restringido, deter-
mina las pérdidas de carga que existen, tanto en el diseño
inicial como en cada una de las soluciones, concurrien-
do una mayor pérdida de carga al existir ramal de unión,
reduciendo de esta forma los resultados de oscilación de
las chimeneas simples.
Esta diferencia que existe entre las dos cargas pie-
zométricas es el valor de pérdida de carga que se tiene al
utilizar el ramal de unión en una chimenea de equilibrio,
es por esta razón que se puede disminuir diámetros si se
hace una correcta elección en las dimensiones, sabiendo
que mientras más grande sea el ramal de unión, menores
serán las pérdidas, con los resultados se observa que un
80
Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
diámetro de oricio restringido pequeño genera valores
más altos de pérdidas de carga.
Con estos resultados evidentemente, una chimenea
simple tendrá un costo de construcción alto, debido a que
es necesario realizar gastos en excavación y recubrimien-
to de la sección transversal que ocupará esta chimenea
para evitar el desgaste de material cuando exista contac
-
to con el agua, tomando en cuenta que la altura debe ser
mayor, para suplir con las necesidades que tiene el sis-
tema de equilibrar las sobrepresiones producidas por el
golpe de ariete. Razón por la cual, la mejor solución con
respecto a reducir las sobrepresiones va a ser el ramal de
unión, el cual permitirá que exista una pérdida de carga
que atenúe las oscilaciones del nivel de agua que ocurren
al existir operaciones bruscas, siendo estas de apertura o
cierre. La chimenea de equilibrio cumple con la función
de permitir un movimiento oscilatorio con el embalse,
como efecto del golpe de ariete que pueda darse en el sis-
tema a causa de una maniobra brusca en la operación de
las válvulas de guardia.
3.5. ANÁLISIS DE COSTOS DE INVERSIÓN DEL SISTE
MA ORIGINAL Y EL SISTEMA OPTIMIZADO.
Como resultado de los algoritmos genéticos se encuen-
tran los mejores resultados con base en el costo de la
chimenea de equilibrio vs. la oscilación, en la cual se de-
termina que no por ser el costo más alto la oscilación es
menor, esto dependerá del área del oricio restringido
que se tenga para esta chimenea.
Se puede denir que los algoritmos genéticos usados
como alternativa para solucionar problemas de dimen-
sionamiento de la chimenea de equilibrio y del ramal de
unión, son una herramienta muy ecaz debido a que son
capaces de presentar diversas opciones en lo que respec-
ta a la solución de problemas que afectan a la comunidad.
En la Figura 7 se representa los resultados de la dife
-
rencia de los costos de construcción de cada solución de
las chimeneas de equilibrio con respecto al valor original,
en las cuales la variación de los resultados indica cuál de
las soluciones se puede escoger para utilizar en el diseño,
debido a que el valor del costo de construcción está rela-
cionado con la oscilación, el menor costo también repre-
senta una disminución de la oscilación.
4. Conclusiones
4.1. CONCLUSIONES DE LA GEOMETRÍA DEL DISE
ÑO ORIGINAL Y EL DISEÑO OPTIMIZADO
·
Con el valor promedio de los diámetros de la chime-
nea de equilibrio de las tres soluciones en comparación
con el diámetro inicial para cada una de las centrales
hidroeléctricas se puede determinar que:
- Chontal tiene una disminución del 6%
- Minas San Francisco un incremento del 16%
- La Unión una disminución del 5%
- Ocaña II un incremento del 68%
- Toachi Pilatón una disminución del 23%
- Quijos un incremento de 25%
- Llanganates un incremento de 25%
- Apaquí un incremento de 143%
- Sopladora un incremento de 87%
- Palma Real una disminución de 4%
Teniendo un valor promedio para todos los diámetros de
chimenea de equilibrio el 40% incrementó, estableciendo
que para el caso de las chimeneas de equilibrio el aumen-
to de la sección es la solución más recomendable.
·
Para el caso de los diámetros de oricio restringido, re-
lacionando un promedio de las tres soluciones y com-
parando con el diámetro inicial se puede determinar
que para cada una de las centrales se tiene los siguien-
tes valores:
- Chontal se tiene una disminución del 11%
- Minas San Francisco una disminución del 28%
- La Unión una disminución del 38%
- Ocaña II una disminución del 26%
- Toachi Pilatón una disminución del 19%
- Quijos una disminución de 12%
- Llanganates una disminución 35%
- Apaquí un incremento de 161%
- Sopladora una disminución de 7%
- Palma Real una disminución de 28%
Se tiene un valor promedio para todos los diámetros de
oricio restringido del 4% de disminución, estableciendo
que para el caso del oricio restringido las soluciones más
óptimas están relacionadas con la disminución del diámetro.
4.2. CONCLUSIONES DE LAS ENVOLVENTES EXTRE
MAS DE CARGA PIEZOMÉTRICA.
· Haciendo una comparación entre los datos generados
para el diseño y las tres soluciones, se puede observar
que estos datos varían en el 4%, ya sea de incremen-
to o disminución de la oscilación, siendo la más críti-
ca la oscilación de la central hidroeléctrica La Unión.
·
Las centrales hidroeléctricas con una disminución de
la oscilación y con un porcentaje menor al 1% son las
centrales hidroeléctricas Ocaña II, Apaquí y Palma
Real, siendo este el 30% del total del análisis.
81
Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
·
Para el total de centrales hidroeléctricas analizadas se
tiene un incremento del nivel máximo de la oscilación
en la chimenea de equilibrio del 0.19% siendo este un
valor mínimo, determinando de esta forma la ecien-
cia de la selección de los diámetros a analizarse.
4.3. CONCLUSIONES DE LAS OSCILACIONES DE
MASA EN CHIMENEA DE EQUILIBRIO SUPERIOR
·
Los resultados del nivel máximo de oscilación en la
chimenea de equilibrio comparando las soluciones y el
dato inicial indica que existe una disminución del ni-
vel en un 0.45% de la carga piezométrica del 80% del
total de las centrales hidroeléctricas.
·
Al realizar el análisis del tiempo del nivel máximo de
oscilación se puede determinar que existe un incre-
mento en un 22.69%, teniendo un valor más elevado
en la central hidroeléctrica Ocaña II con un 98% ma-
yor al original, esto en vista de que los diámetros de la
chimenea de equilibrio de las soluciones son más gran-
des y el diámetro del oricio restringido disminuye.
·
Con los datos de oscilación de masa de la central hi-
droeléctrica Llanganates se puede determinar que los
diámetros de las tres soluciones son muy grandes en
comparación con el diámetro inicial, generando unas
oscilaciones más prolongadas en el tiempo y con un
menor valor que la original, teniendo valores de diá-
metro de la chimenea de equilibrio mayores al 143%
superior del diámetro original.
4.4. CONCLUSIONES DE LA RELACIÓN ENTRE LA
MÁXIMA SOBREPRESIÓN DE LA CHIMENEA DE
EQUILIBRIO Y LAS PÉRDIDAS DE CARGA EN EL RA
MAL DE UNIÓN
·
Con los datos de pérdidas de carga se puede determi-
nar que para la central hidroeléctrica Toachi Pilatón,
con la solución 1 se incrementa de una manera muy
drástica el nivel máximo de oscilación en la chimenea,
es por esta razón que sus pérdidas de carga son excesi-
vas en comparación con las otras dos soluciones y del
valor inicial, teniendo un incremento excesivo.
·
Con estos resultados, evidentemente el incremento del
nivel de oscilación, al no existir un oricio restringi-
do, ocasiona que existan datos muy altos, que generan
pérdidas de carga elevadas, como son el caso de las
centrales hidroeléctricas de Ocaña II, Toachi Pilatón,
Sopladora y Palma Real, generando un incremento de
más del 100% en comparación con el diseño original.
4.5. CONCLUSIONES DE LA ANÁLISIS DE COSTOS DE
INVERSIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL Y EL SISTEMA
OPTIMIZADO
·
Para la central hidroeléctrica Chontal se obtiene que
los valores iniciales de la chimenea original necesi-
tan de $ 1.19 UM para tener una oscilación de 792.49
msnm; en la solución 1 requiere de $ 1.01 UM para
una oscilación 791.22 msnm; la solución 2 con $ 1.47
UM para una oscilación 792.40 msnm. Finalmente, en
la tercera solución es necesario de $ 1.89 UM para una
oscilación 792.44 msnm; esto demuestra que la solu-
ción más óptima es la solución 1 ya que disminuye un
15% el costo total de fabricación de la chimenea, ade-
más se disminuye un 0.16% la oscilación, esto quiere
decir que la altura de la chimenea será menor a la pro-
puesta en el sistema original.
· Las diez centrales hidroeléctricas analizadas permiten
realizar una gráca más real con respecto a su diáme-
tro del oricio restringido vs. el costo de la chimenea
de equilibrio, escogiendo un valor del diámetro del ori-
cio restringido, ir a la línea de tendencia y generar
un costo en unidades monetarias más representativo
al tipo de hidroeléctrica que se está trabajando; para el
caso de las grácas de pérdidas de carga y la diferencia
de los diámetros de oricio restringido y chimenea de
equilibrio su línea de tendencia polinómica de segun-
do grado no representa una solución que se pueda re-
presentar en este estudio debido a que sus valores son
muy dispersos.
4.6. CONCLUSIONES GENERALES
·
La resolución de una chimenea de equilibrio con el
método de características puede tomar mucho tiem-
po en su aplicación al intentar encontrar la mejor so-
lución entre una población mayor, razón por la cual al
utilizar algoritmos genéticos se pudo comprobar que
disminuyó los tiempos de obtención de resultados y
generar soluciones factibles que el usuario estaría dis-
puesto a elegir.
·
Mediante este programa, se logró crear aplicaciones
para que al utilizar algoritmos genéticos sirvan como
instrumento para resolver los problemas que presenta
una central hidroeléctrica, constituyéndose como una
herramienta ecaz al momento de tomar decisiones,
debido a que la técnica de optimización genera solu-
ciones simultáneas a diferentes problemas como la de-
terminación de diámetro de chimenea de equilibrio y
diámetro de ramal de unión, asimismo cumple con un
valor de costo, utilizando los múltiples criterios.
·
La forma más certera para comprobar los resultados de
la optimización es realizar un benchmark. Esta técnica
consiste en medir el rendimiento de la aplicación, uti-
lizando varias máquinas para determinar el tiempo de
ejecución más eciente, de la cual en procesador Intel
82
Evaluación de la Técnica de Algoritmos Genéticos para la Optimización Multi-Objetivo del Dimensionamiento de una Chimenea de
Equilibrio Superior sección constante y su Ramal de Unión en un Aprovechamiento Hidroeléctrico
Core I7 se tuvo un tiempo de ejecución de 15 min,
siendo un tiempo muy corto en comparación con el
tiempo que toma realizar el mismo procedimiento de
forma manual ingresando diferentes condiciones para
probar al sistema.
·
Con los resultados de las hidroeléctricas se llegó a la
conclusión de que cada una de ellas tiene su propia re-
lación, sin embargo, al agruparlos para representar una
gráca total no se puede generalizar los resultados, ob-
servando que no existe ninguna relación entre ellas.
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Figura 6.
Relación oscilación de masa vs soluciones y diseño original.
Figura 7.
Relación costo de construcción vs centrales hidroeléctricas.
anexos
